Точки А, В и С делят окружность с центром О на три дуги: АВ, ВС и АС, градусные меры которых относятся...

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться свойствами окружности и центральных углов.

1. Определим градусные меры дуг:

   Пусть градусная мера дуги $AB$ равна $7x$, дуги $BC$ – $5x$, а дуги $AC$ – $6x$. Поскольку сумма градусных мер всех дуг окружности равна 360°, запишем уравнение: $7x+5x+6x=360°$ Упростим уравнение: $18x=360°$ Найдем $x$: $x=\frac{360°}{18}=20°$

   Теперь можем определить градусные меры дуг: $\text{дуга }AB=7x=7\cdot 20°=140°$ $\text{дуга }BC=5x=5\cdot 20°=100°$ $\text{дуга }AC=6x=6\cdot 20°=120°$

2. Определим центральные углы:

   Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Поэтому: $\mathrm{\angle }AOB=\text{градусная мера дуги }AB=140°$ $\mathrm{\angle }BOC=\text{градусная мера дуги }BC=100°$ $\mathrm{\angle }AOC=\text{градусная мера дуги }AC=120°$

3. Определим вписанные углы:

   Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

   Вписанный угол $\mathrm{\angle }ABC$ опирается на дугу $AC$: $\mathrm{\angle }ABC=\frac{1}{2}\cdot \text{градусная мера дуги }AC=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°$

   Вписанный угол $\mathrm{\angle }BAC$ опирается на дугу $BC$: $\mathrm{\angle }BAC=\frac{1}{2}\cdot \text{градусная мера дуги }BC=\frac{1}{2}\cdot 100°=50°$

   Вписанный угол $\mathrm{\angle }BCA$ опирается на дугу $AB$: $\mathrm{\angle }BCA=\frac{1}{2}\cdot \text{градусная мера дуги }AB=\frac{1}{2}\cdot 140°=70°$

Таким образом, мы нашли все нужные углы: $\mathrm{\angle }ABC=60°$ $\mathrm{\angle }BAC=50°$ $\mathrm{\angle }BCA=70°$ $\mathrm{\angle }AOB=140°$

Рисунок:

Я не могу предоставить рисунок напрямую, но вы можете нарисовать его следующим образом:

1. Нарисуйте окружность с центром O.
2. Отметьте три точки на окружности: A, B, и C таким образом, чтобы дуга AB была самой большой $140°$, дуга BC – 100°, и дуга AC – 120°.
3. Соедините точки A, B и C с центром O, чтобы образовать центральные углы.
4. Соедините точки A, B и C между собой, чтобы образовать вписанные углы.

Теперь у вас есть полный ответ на задачу с пояснениями и инструкцией по построению рисунка.

Для начала найдем градусные меры дуг, обозначим их через x, y и z соответственно.

Так как градусные меры дуг относятся как 7 : 5 : 6, то сумма этих мер должна равняться 360 градусов $суммавсехугловвокругцентраокружности$.

Из условия задачи получаем: 7x + 5y + 6z = 360

Также известно, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. Поэтому можем записать уравнения для каждого из треугольников:

В треугольнике АВС: ∠АВС + ∠ВАС + ∠АСВ = 180 x + y + z = 180

В треугольнике АОВ: ∠АОВ + ∠АОС + ∠ВОС = 180 2x + 2z = 180 x + z = 90

Теперь можно решить систему уравнений: 7x + 5y + 6z = 360 x + y + z = 180 x + z = 90

Решив данную систему уравнений, найдем значения x, y и z. Подставим их обратно в уравнения треугольников, чтобы найти углы АВС, ВАС и АОВ.

На рисунке углы будут соответствовать углам, образованным дугами АВ, ВС и АС, и центром окружности О.