Точки a b c d не лежат в одной плоскости, доказать, что прямы AB и CD скрещиваются

Для доказательства того, что прямые AB и CD скрещиваются, необходимо использовать свойство некомпланарности четырех точек. Если точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, то прямые, проходящие через точки A и B, а также через точки C и D, не могут быть параллельными. Это связано с тем, что если бы прямые AB и CD были параллельными, то точки A, B, C и D лежали бы в одной плоскости.

Таким образом, если точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, то прямые AB и CD обязательно скрещиваются в какой-то точке.

Для того чтобы доказать, что прямые $AB$ и $CD$ скрещиваются, нам нужно показать, что они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Шаг 1: Определение планарности

Прежде всего, отметим, что точки $A,B,C,D$ не лежат в одной плоскости. Это означает, что никакие три из этих точек не являются коллинеарными $нележатнаоднойпрямой$, и при этом все четыре точки не могут быть одновременно совмещены в одной плоскости.

Шаг 2: Проверка пересечения прямых

Давайте предположим, что прямые $AB$ и $CD$ пересекаются. Если прямые пересекаются, то существует точка $P$, которая лежит на обеих прямых. Но для того чтобы $P$ существовала, точки $A,B,C,D$ должны лежать в одной плоскости, что противоречит исходному предположению.

Шаг 3: Проверка параллельности прямых

Следующее, что нужно проверить, это параллельность прямых. Если прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то необходимо, чтобы они лежали в одной плоскости и их направляющие векторы были линейно зависимыми. Однако, поскольку $A,B,C,D$ не лежат в одной плоскости, прямые $AB$ и $CD$ не могут быть параллельными.

Шаг 4: Заключение о скрещивающихся прямых

Итак, мы установили, что прямые $AB$ и $CD$ не пересекаются и не параллельны. Это означает, что они скрещиваются.

Для более формального доказательства рассмотрим векторные представления прямых. Пусть $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, и $\mathbf{d}$ - векторные координаты точек $A$, $B$, $C$, и $D$ соответственно. Прямые $AB$ и $CD$ можно представить в параметрической форме:

${\mathbf{r}}_1(t)=\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ ${\mathbf{r}}_2(s)=\mathbf{c}+s(\mathbf{d}-\mathbf{c})$

Чтобы прямые пересекались, должно существовать такое $t$ и $s$, что ${\mathbf{r}}_1(t$ = \mathbf{r}_2$s$ ). Это приводит к системе уравнений:

$\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{c}+s(\mathbf{d}-\mathbf{c})$

Поскольку точки $A,B,C,D$ не лежат в одной плоскости, эта система уравнений не имеет решений, и следовательно, прямые $AB$ и $CD$ не пересекаются.

Таким образом, прямые $AB$ и $CD$ скрещиваются, что и требовалось доказать.