Точки a b c d не лежат в одной плоскости, доказать, что прямы AB и CD скрещиваются

Для доказательства того, что прямые AB и CD скрещиваются, необходимо использовать свойство некомпланарности четырех точек. Если точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, то прямые, проходящие через точки A и B, а также через точки C и D, не могут быть параллельными. Это связано с тем, что если бы прямые AB и CD были параллельными, то точки A, B, C и D лежали бы в одной плоскости.

Таким образом, если точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, то прямые AB и CD обязательно скрещиваются в какой-то точке.

Для того чтобы доказать, что прямые ( AB ) и ( CD ) скрещиваются, нам нужно показать, что они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Шаг 1: Определение планарности

Прежде всего, отметим, что точки ( A, B, C, D ) не лежат в одной плоскости. Это означает, что никакие три из этих точек не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой), и при этом все четыре точки не могут быть одновременно совмещены в одной плоскости.

Шаг 2: Проверка пересечения прямых

Давайте предположим, что прямые ( AB ) и ( CD ) пересекаются. Если прямые пересекаются, то существует точка ( P ), которая лежит на обеих прямых. Но для того чтобы ( P ) существовала, точки ( A, B, C, D ) должны лежать в одной плоскости, что противоречит исходному предположению.

Шаг 3: Проверка параллельности прямых

Следующее, что нужно проверить, это параллельность прямых. Если прямые ( AB ) и ( CD ) параллельны, то необходимо, чтобы они лежали в одной плоскости и их направляющие векторы были линейно зависимыми. Однако, поскольку ( A, B, C, D ) не лежат в одной плоскости, прямые ( AB ) и ( CD ) не могут быть параллельными.

Шаг 4: Заключение о скрещивающихся прямых

Итак, мы установили, что прямые ( AB ) и ( CD ) не пересекаются и не параллельны. Это означает, что они скрещиваются.

Для более формального доказательства рассмотрим векторные представления прямых. Пусть ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ), ( \mathbf{c} ), и ( \mathbf{d} ) - векторные координаты точек ( A ), ( B ), ( C ), и ( D ) соответственно. Прямые ( AB ) и ( CD ) можно представить в параметрической форме:

[ \mathbf{r}_1(t) = \mathbf{a} + t (\mathbf{b} - \mathbf{a}) ] [ \mathbf{r}_2(s) = \mathbf{c} + s (\mathbf{d} - \mathbf{c}) ]

Чтобы прямые пересекались, должно существовать такое ( t ) и ( s ), что ( \mathbf{r}_1(t) = \mathbf{r}_2(s) ). Это приводит к системе уравнений:

[ \mathbf{a} + t (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \mathbf{c} + s (\mathbf{d} - \mathbf{c}) ]

Поскольку точки ( A, B, C, D ) не лежат в одной плоскости, эта система уравнений не имеет решений, и следовательно, прямые ( AB ) и ( CD ) не пересекаются.

Таким образом, прямые ( AB ) и ( CD ) скрещиваются, что и требовалось доказать.