Точки А(-3;5), С(7;-1) и D(5;7) являются вершинами паралелограмма АВСD. Найдите координаты точки В....

Для нахождения координат точки B параллелограмма ABCD, где известны координаты точек A, C и D, можно воспользоваться тем свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.

1. Координаты точек:

   • A(-3; 5)
   • C(7; -1)
   • D(5; 7)

2. Найдем координаты точки B: Параллелограмм ABCD имеет диагонали AC и BD, которые пересекаются в середине. Обозначим координаты точки B как (x, y).

   Сначала найдем координаты середины диагонали AC: [ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-3 + 7}{2}, \frac{5 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{4}{2} \right) = (2, 2) ]

   Теперь найдем координаты середины диагонали BD, которые должны совпадать с координатами середины AC: [ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + yD}{2} \right) ] Подставим известные координаты точки D: [ M{BD} = \left( \frac{x + 5}{2}, \frac{y + 7}{2} \right) ]

   Поскольку (M{AC} = M{BD}), приравняем координаты: [ \frac{x + 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{y + 7}{2} = 2 ]

3. Решим первое уравнение: [ \frac{x + 5}{2} = 2 ] Умножим на 2: [ x + 5 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 - 5 = -1 ]

4. Решим второе уравнение: [ \frac{y + 7}{2} = 2 ] Умножим на 2: [ y + 7 = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 4 - 7 = -3 ]

5. Координаты точки B: Таким образом, координаты точки B равны (-1; -3).

Ответ: Координаты точки B: (-1; -3).

Для нахождения координат точки B в параллелограмме ABCD, можно использовать свойство, что координаты середины диагонали AC равны координатам середины диагонали BD.

Сначала найдем координаты середины диагонали AC:

Координаты точки A: (-3, 5)
Координаты точки C: (7, -1)

Середина AC: [ M_{AC} = \left(\frac{-3 + 7}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right) = (2, 2) ]

Теперь обозначим координаты точки B как (x, y). Точка D имеет координаты (5, 7). Середина диагонали BD также должна равняться (2, 2):

Середина BD: [ M_{BD} = \left(\frac{x + 5}{2}, \frac{y + 7}{2}\right) ]

Приравняем координаты: [ \frac{x + 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{y + 7}{2} = 2 ]

Решим первое уравнение: [ x + 5 = 4 \implies x = -1 ]

Решим второе уравнение: [ y + 7 = 4 \implies y = -3 ]

Таким образом, координаты точки B: (-1, -3).

Рассмотрим задачу:

Даны точки ( A(-3; 5) ), ( C(7; -1) ) и ( D(5; 7) ), которые являются вершинами параллелограмма ( ABCD ). Нам нужно найти координаты четвёртой вершины ( B(x; y) ).

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме диагонали делятся пополам. Это значит, что точка пересечения диагоналей является их общей серединой.
2. Если мы знаем координаты трёх вершин параллелограмма, четвёртую вершину можно найти, используя свойства симметрии.

Решение:

Диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в середине. Это свойство позволяет найти координаты точки ( O ) — середины диагонали ( AC ) и ( BD ).

Сначала найдём координаты середины ( O ) диагонали ( AC ):

[ O_x = \frac{x_A + x_C}{2}, \quad O_y = \frac{y_A + y_C}{2}. ]

Подставляем координаты точек ( A(-3; 5) ) и ( C(7; -1) ):

[ O_x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad O_y = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2. ]

Значит, точка ( O(2; 2) ) — середина диагонали ( AC ).

Точка ( O ) также является серединой диагонали ( BD ). Используем это, чтобы найти координаты точки ( B(x; y) ). Для середины ( O ) справедливо:

[ O_x = \frac{x_B + x_D}{2}, \quad O_y = \frac{y_B + y_D}{2}. ]

Подставляем координаты ( O(2; 2) ) и ( D(5; 7) ):

[ 2 = \frac{x + 5}{2}, \quad 2 = \frac{y + 7}{2}. ]

Решаем каждое уравнение:

1. Для ( x ): [ 2 = \frac{x + 5}{2} \implies x + 5 = 4 \implies x = -1. ]

2. Для ( y ): [ 2 = \frac{y + 7}{2} \implies y + 7 = 4 \implies y = -3. ]

Ответ:

Координаты точки ( B ): ( B(-1; -3) ).

Проверка:

Проверим, что найденные координаты точки ( B ) соответствуют свойствам параллелограмма. Середина диагонали ( BD ) должна совпадать с ( O(2; 2) ). Подставляем:

[ O_x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad O_y = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2. ]

Всё верно, координаты ( B(-1; -3) ) правильные.