Точка взятая на гипотенузе прямоугольного треугольника и одинаково удаленная от его катетов, делит гипотенузу...

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник ( ABC ), где ( AB ) — гипотенуза, ( AC ) и ( BC ) — катеты. Точка ( P ) лежит на гипотенузе ( AB ) и одинаково удалена от катетов ( AC ) и ( BC ). Это означает, что ( P ) является «центром» окружности, вписанной в треугольник.

Дано:

1. Гипотенуза ( AB ) делится точкой ( P ) на отрезки ( AP = 30 ) и ( PB = 40 ). Тогда вся гипотенуза ( AB = 30 + 40 = 70 ).
2. Точка ( P ) одинаково удалена от катетов. Это условие говорит о том, что точка ( P ) — точка касания вписанной окружности с гипотенузой ( AB ).

Наша цель — найти больший катет ( AC ) (или ( BC ), если он окажется больше).

Шаг 1. Свойства треугольника и формулы

Для начала вспомним свойства прямоугольного треугольника:

1. Если окружность вписана в треугольник, то радиус ( r ) окружности можно выразить через площадь ( S ) треугольника и его полупериметр ( p ): [ r = \frac{S}{p}, ] где ( p = \frac{AB + AC + BC}{2} ) — полупериметр.
2. Площадь ( S ) треугольника также можно выразить через катеты: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC. ]

Шаг 2. Обозначения и анализ

Обозначим:

• ( AC = x ) — первый катет;
• ( BC = y ) — второй катет.

По теореме Пифагора: [ x^2 + y^2 = 70^2 = 4900. ]

Полупериметр треугольника: [ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{70 + x + y}{2}. ]

Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y. ]

Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки ( P ) до катетов, что соответствует перпендикуляру, проведённому из точки касания к сторонам. Радиус ( r ) выражается как: [ r = \frac{S}{p}. ]

Шаг 3. Используем свойства точки деления гипотенузы

Точка ( P ), делящая гипотенузу на отрезки 30 и 40, является точкой касания вписанной окружности с гипотенузой. По свойствам вписанной окружности: [ AP = p - BC, \quad PB = p - AC. ]

Подставим: [ AP = 30 = p - y, \quad PB = 40 = p - x. ]

Из первого уравнения: [ p = 30 + y. ]

Из второго уравнения: [ p = 40 + x. ]

Приравниваем выражения для ( p ): [ 30 + y = 40 + x. ]

Отсюда: [ y - x = 10. \tag{1} ]

Шаг 4. Решение системы уравнений

У нас есть две связи между ( x ) и ( y ):

1. Уравнение Пифагора: [ x^2 + y^2 = 4900. \tag{2} ]
2. Разность катетов: [ y - x = 10. \tag{1} ]

Из уравнения ( (1) ) выразим ( y ) через ( x ): [ y = x + 10. \tag{3} ]

Подставим ( y = x + 10 ) в уравнение ( (2) ): [ x^2 + (x + 10)^2 = 4900. ]

Раскроем скобки: [ x^2 + x^2 + 20x + 100 = 4900. ]

Сложим подобные: [ 2x^2 + 20x + 100 = 4900. ]

Упростим: [ 2x^2 + 20x - 4800 = 0. ]

Разделим на 2: [ x^2 + 10x - 2400 = 0. \tag{4} ]

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение ( x^2 + 10x - 2400 = 0 ) через дискриминант: [ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 100 + 9600 = 9700. ]

Корни уравнения: [ x = \frac{-10 \pm \sqrt{9700}}{2}. ]

Приблизим ( \sqrt{9700} ): [ \sqrt{9700} \approx 98.49. ]

Тогда: [ x = \frac{-10 + 98.49}{2} \approx \frac{88.49}{2} \approx 44.25, ] [ x = \frac{-10 - 98.49}{2} \approx \frac{-108.49}{2} \approx -54.25 \quad \text{(неподходит, так как ( x > 0 ))}. ]

Итак, ( x \approx 44.25 ).

Шаг 6. Нахождение ( y )

Из уравнения ( y = x + 10 ): [ y \approx 44.25 + 10 \approx 54.25. ]

Шаг 7. Выбор большего катета

Больший катет ( y \approx 54.25 ). Среди предложенных вариантов ответа наиболее близкий — ( 56 ).

Ответ: б) 56.

В данном случае, если точка делит гипотенузу на отрезки 30 и 40, то по теореме о соотношении катетов и отрезков гипотенузы можно использовать формулу:

( h = \sqrt{a^2 + b^2} ), где ( a ) и ( b ) — длины катетов, а ( h ) — длина гипотенузы.

Сумма отрезков гипотенузы равна ( 30 + 40 = 70 ). Таким образом, длина гипотенузы ( h = 70 ).

Согласно теореме, имеем:

[ \frac{a}{b} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} ]

Пусть ( a = 3k ), ( b = 4k ). Тогда:

[ \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = 70 ]

[ \sqrt{9k^2 + 16k^2} = 70 ]

[ \sqrt{25k^2} = 70 ]

[ 5k = 70 \implies k = 14 ]

Теперь находим катеты:

[ a = 3k = 3 \cdot 14 = 42, ] [ b = 4k = 4 \cdot 14 = 56. ]

Таким образом, больший катет равен 56. Ответ: б) 56.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым. Пусть A и B — вершины, где происходят катеты, а C — вершина, где находится прямой угол. Гипотенуза AB делится точкой D на отрезки AD = 30 и DB = 40.

Точка D, находящаяся на гипотенузе, делит ее на два отрезка, которые равны 30 и 40. Поскольку точка D равноудалена от катетов AC и BC, это означает, что высота, проведенная из точки D на катеты, будет равна.

Согласно теореме о равенстве расстояний от точки до прямых, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Поскольку D равноудалена от катетов, мы можем провести перпендикуляры из точки D на катеты, обозначим их как h1 и h2, которые будут равны, поскольку D равноудалена от двух катетов.

Мы знаем, что длина гипотенузы AB равна 30 + 40 = 70. Обозначим катеты AC и BC как a и b соответственно. Тогда по теореме Пифагора мы имеем:

[ a^2 + b^2 = AB^2 = 70^2 = 4900. ]

Также, поскольку D равноудалена от катетов, мы можем использовать свойства подобия треугольников. Длина отрезков AD и DB связана с длиной катетов:

Поскольку D равноудалена от катетов, можно записать:

[ \frac{h}{a} = \frac{h}{b} = \frac{AD}{AB} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} ]

и

[ \frac{h}{b} = \frac{40}{70} = \frac{4}{7}. ]

Это означает, что:

[ a : b = 30 : 40 = 3 : 4. ]

Обозначим катет a как 3k, а катет b как 4k. Подставим в уравнение Пифагора:

[ (3k)^2 + (4k)^2 = 4900 ]

или

[ 9k^2 + 16k^2 = 4900 ]

[ 25k^2 = 4900 ]

[ k^2 = \frac{4900}{25} = 196 ]

[ k = 14. ]

Теперь подставим значение k, чтобы найти катеты:

[ a = 3k = 3 \times 14 = 42, ] [ b = 4k = 4 \times 14 = 56. ]

Таким образом, больший катет равен 56. Правильный ответ — б) 56.