Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 5. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани этой пирамиды и плоскостью ее основания .
Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 5. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани этой пирамиды и плоскостью ее основания .
Для решения задачи введем следующие обозначения: пусть ( S ) — вершина пирамиды, ( A, B, C ) — вершины основания, которое является правильным треугольником. Предположим, что ( SA ) — боковое ребро пирамиды. Также обозначим ( O ) — центр основания треугольника ( ABC ).
По условию задачи тангенс угла между боковым ребром ( SA ) и плоскостью основания пирамиды равен 5. Это означает, что угол ( \angle SAO ) имеет тангенс равный 5, где ( O ) — точка перпендикуляра, опущенного из ( S ) на плоскость ( ABC ). То есть, если ( SO = h ) (высота пирамиды), и ( OA = r ) (радиус описанной окружности основания треугольника), то: [ \tan(\angle SAO) = \frac{h}{r} = 5 ]
Теперь рассмотрим боковую грань ( SAB ). Плоскость ( SAB ) образует с плоскостью ( ABC ) двугранный угол. Найдем тангенс угла между этими плоскостями.
Заметим, что тангенс угла между плоскостью ( SAB ) и плоскостью ( ABC ) равен отношению высоты треугольника ( SAB ) к радиусу описанной окружности вокруг ( AB ). Треугольник ( SAB ) равнобедренный, а высота из вершины ( S ) на основание ( AB ) проходит через точку ( O ) и перпендикулярна ( AB ), делит ( AB ) пополам.
Для равнобедренного треугольника ( SAB ), у которого угол при вершине ( \angle ASB ) равен ( 120^\circ ) (так как ( ABC ) — правильный треугольник), можно использовать формулу для высоты ( h' ), опущенной на основание ( AB ): [ h' = h \cdot \cos \left( \frac{\angle ASB}{2} \right) = h \cdot \cos(60^\circ) = \frac{h}{2} ]
Радиус описанной окружности вокруг ( AB ) равен: [ R' = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}} ]
Таким образом, тангенс искомого угла между плоскостями ( SAB ) и ( ABC ) равен: [ \tan \theta = \frac{h'}{R'} = \frac{\frac{h}{2}}{\frac{2r}{\sqrt{3}}} = \frac{h}{4r} \cdot \sqrt{3} = \frac{5}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{4} ]
Итак, тангенс угла между плоскостью боковой грани ( SAB ) и плоскостью основания ( ABC ) равен ( \frac{5\sqrt{3}}{4} ).
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами правильных треугольных пирамид. Пусть угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α. Также обозначим угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания как β.
Из условия задачи известно, что tg(α) = 5. Так как треугольная пирамида является правильной, то угол между боковой гранью и ребром равен 90 градусов. Следовательно, tg(90-α) = ctg(α) = 1/5.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный плоскостью боковой грани, плоскостью основания и высотой пирамиды. В этом треугольнике угол β является дополнительным к углу α. Таким образом, tg(β) = tg(α) = 5.
Итак, мы нашли, что tg(β) = 5. Таким образом, тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 5.
