Сумма длин трёх измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDAA1B1C1D1 равна 36,AB:AA1:AD=2:3:4.Найдите...

Для решения задачи начнем с обозначения длин рёбер прямоугольного параллелепипеда ( AB = a ), ( AA_1 = b ), и ( AD = c ).

По условию задачи, известно, что сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда равна 36: [ a + b + c = 36 ]

Также дано соотношение между рёбрами: [ AB : AA_1 : AD = 2 : 3 : 4 ]

Это позволяет нам выразить длины рёбер через одно переменное. Пусть ( AB = 2k ), тогда ( AA_1 = 3k ) и ( AD = 4k ). Подставим эти выражения в уравнение суммы: [ 2k + 3k + 4k = 36 ]

Сложим коэффициенты: [ 9k = 36 ]

Решим это уравнение: [ k = 4 ]

Теперь найдем длины рёбер: [ AB = 2k = 2 \cdot 4 = 8 ] [ AA_1 = 3k = 3 \cdot 4 = 12 ] [ AD = 4k = 4 \cdot 4 = 16 ]

Теперь нам нужно найти наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда. Рассмотрим диагонали всех граней:

1. Диагональ грани ( ABCD ) с размерами ( AB ) и ( AD ): [ d_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} ]

2. Диагональ грани ( AABB_1 ) с размерами ( AB ) и ( AA_1 ): [ d_2 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} ]

3. Диагональ грани ( AADD_1 ) с размерами ( AD ) и ( AA_1 ): [ d_3 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 ]

Сравним найденные диагонали: [ 8\sqrt{5} \approx 8 \cdot 2.236 = 17.888 ] [ 4\sqrt{13} \approx 4 \cdot 3.606 = 14.424 ] [ 20 ]

Наибольшая диагональ — это диагональ граней ( AADD_1 ) с длиной 20.

Ответ: наибольшая диагональ граней параллелепипеда равна 20.

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулами геометрии прямоугольного параллелепипеда. Пусть AB = 2x, AA1 = 3x, AD = 4x. Таким образом, сумма длин трёх измерений равна 2x + 3x + 4x = 9x, что равно 36. Отсюда находим, что x = 4.

Теперь найдем длины всех рёбер параллелепипеда: AB = 24 = 8, AA1 = 34 = 12, AD = 4*4 = 16. Теперь найдем длину наибольшей диагонали грани параллелепипеда. По теореме Пифагора, длина диагонали равна √(AB^2 + AA1^2 + AD^2). Подставляем значения и находим: √(8^2 + 12^2 + 16^2) = √(64 + 144 + 256) = √(464) ≈ 21.54.

Таким образом, наибольшая диагональ грани параллелепипеда равна примерно 21.54.