Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3см и 5см, большая из диагоналей его боковых...

Для решения задачи нам необходимо понять, как связаны размеры параллелепипеда с углом, образованным диагональю боковой грани и плоскостью основания.

1. Определение сторон и диагонали:

   • Пусть ( a = 3 ) см и ( b = 5 ) см — стороны основания.
   • Высота параллелепипеда обозначим как ( h ).
   • Диагональ боковой грани, которая образует угол ( 60^\circ ) с плоскостью основания, будет равна ( \sqrt{b^2 + h^2} ), где ( b ) — одна из сторон основания.

2. Использование угла:

   • По условию, диагональ боковой грани образует угол ( 60^\circ ) с плоскостью основания.
   • Косинус угла между диагональю боковой грани и плоскостью основания дается формулой: [ \cos 60^\circ = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} ] Поскольку ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ), получаем: [ \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} = \frac{1}{2} ] [ 2b = \sqrt{b^2 + h^2} ] Возведем обе стороны в квадрат: [ 4b^2 = b^2 + h^2 ] [ 3b^2 = h^2 ] [ h = \sqrt{3}b ]
   • Подставим ( b = 5 ) см: [ h = \sqrt{3} \times 5 = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

3. Площадь полной поверхности параллелепипеда:

   • Площадь полной поверхности параллелепипеда ( S ) состоит из площади двух оснований и четырёх боковых граней: [ S = 2ab + 2ah + 2bh ] Подставим известные значения: [ S = 2 \times 3 \times 5 + 2 \times 3 \times 5\sqrt{3} + 2 \times 5 \times 5\sqrt{3} ] [ S = 30 + 30\sqrt{3} + 50\sqrt{3} ] [ S = 30 + 80\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна ( 30 + 80\sqrt{3} ) см².

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим боковую грань параллелепипеда, образованную большой диагональю и сторонами основания. Из условия известно, что угол между большой диагональю и плоскостью основания равен 60 градусов. Так как прямоугольный параллелепипед имеет прямоугольную форму, то угол между большой диагональю и боковой гранью также равен 60 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большой диагональю, высотой параллелепипеда и половиной длины его основания. Пусть высота параллелепипеда равна h. Тогда по теореме косинусов для этого треугольника имеем: ( h^2 = (3/2)^2 + (5/2)^2 - 2 \cdot (3/2) \cdot (5/2) \cdot \cos 60^\circ ) ( h^2 = 9/4 + 25/4 - 15/2 \cdot 1/2 ) ( h^2 = 34/4 - 15/4 ) ( h^2 = 19/4 ) ( h = \sqrt{19}/2 )

Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Полная поверхность состоит из двух оснований и четырех боковых граней. Площадь каждого основания равна 3 5 = 15 кв.см. Площадь боковой грани равна 3 h + 5 h = 3 sqrt(19)/2 + 5 sqrt(19)/2 = 8 sqrt(19)/2 = 4 * sqrt(19) кв.см. Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда равна: ( 2 \cdot 15 + 4 \cdot \sqrt{19} = 30 + 4\sqrt{19} \approx 38.78 ) кв.см.