Сторона ромба равна 62 корень из 3,острый угол равен 60.Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
Сторона ромба равна 62 корень из 3,острый угол равен 60.Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
В ромбе все стороны равны, и противоположные углы также равны. У нас дано, что сторона ромба равна ( 62\sqrt{3} ), а острый угол равен ( 60^\circ ). Нам нужно найти радиус вписанной окружности.
Для ромба существует формула для нахождения радиуса вписанной окружности:
[ r = \frac{S}{P} ]
где ( S ) — площадь ромба, а ( P ) — его периметр.
Периметр ( P ) ромба с длиной стороны ( a ) равен:
[ P = 4a ]
Подставим известное значение:
[ P = 4 \times 62\sqrt{3} = 248\sqrt{3} ]
Площадь ( S ) ромба с углом ( \alpha ) и сторонами длиной ( a ) можно найти по формуле:
[ S = a^2 \sin(\alpha) ]
Подставим известные значения:
[ S = (62\sqrt{3})^2 \sin(60^\circ) ]
Так как (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), то:
[ S = 62^2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3844 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 5766\sqrt{3} ]
Теперь, используя формулу радиуса вписанной окружности:
[ r = \frac{S}{P} = \frac{5766\sqrt{3}}{248\sqrt{3}} ]
Сократим (\sqrt{3}):
[ r = \frac{5766}{248} ]
Выполним деление:
[ r \approx 23.25 ]
Таким образом, радиус вписанной окружности равен ( 23.25 ).
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника, которая выглядит следующим образом:
[ r = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]
Где а - длина стороны ромба. Подставляя известные значения, получим:
[ r = \frac{62\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]
[ r = 31\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]
[ r = 31\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]
[ r = 31\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} ]
[ r = 31\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} ]
[ r = 31\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} ]
[ r = 31\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1) ]
[ r = 31\sqrt{6} - 31\sqrt{3} ]
Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен ( 31\sqrt{6} - 31\sqrt{3} ).
