Сторона ромба равна 12 см,а один из его углов 30 градусов.Найдитеплощадь ромба.

Для вычисления площади ромба можно использовать несколько формул. Одной из них является формула через сторону ромба и угол между его сторонами:

[ S = a^2 \cdot \sin\alpha, ]

где:

• (S) — площадь ромба,
• (a) — длина стороны,
• (\alpha) — угол между соседними сторонами (в данном случае 30°),
• (\sin\alpha) — синус угла (\alpha).

Дано:

• длина стороны ромба (a = 12) см,
• угол между сторонами (\alpha = 30^\circ).

Шаг 1. Подставляем известные значения в формулу:

[ S = 12^2 \cdot \sin 30^\circ. ]

Шаг 2. Найдём значение (\sin 30^\circ). Оно равно:

[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. ]

Шаг 3. Подставляем (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}) в формулу:

[ S = 12^2 \cdot \frac{1}{2}. ]

Шаг 4. Вычисляем:

[ 12^2 = 144, \quad \frac{144}{2} = 72. ]

Таким образом, площадь ромба равна:

[ S = 72 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь ромба равна (72 \, \text{см}^2).

Чтобы найти площадь ромба, можно использовать формулу, основанную на длине стороны и угле:

[ S = a^2 \cdot \sin(\alpha) ]

где:

• ( S ) — площадь ромба,
• ( a ) — длина стороны,
• ( \alpha ) — угол, прилежащий к этой стороне.

В данном случае длина стороны ромба ( a = 12 ) см, а один из углов ( \alpha = 30^\circ ).

Теперь подставим известные значения в формулу:

1. Сначала находим синус угла ( 30^\circ ): [ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ]

2. Подставим значения в формулу для площади: [ S = a^2 \cdot \sin(\alpha) = 12^2 \cdot \sin(30^\circ) = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь ромба составляет ( 72 ) см².

Дополнительно можно проверить результат, используя другую формулу для площади ромба, основанную на диагоналях:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} ]

где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей. Для того чтобы найти длины диагоналей, можно воспользоваться свойствами ромба. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника.

Для нахождения диагоналей можно использовать тригонометрию. Пусть ( d_1 ) и ( d_2 ) — диагонали. Угол между диагоналями будет равен ( 30^\circ ) и ( 150^\circ ) (так как сумма углов в ромбе равна ( 360^\circ )).

Длина диагонали, опирающейся на угол ( 30^\circ ), может быть найдена через сторону:

1. Должны быть найдены половины диагоналей: [ \frac{d_1}{2} = a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 12 \cdot \cos(15^\circ) ] [ \frac{d_2}{2} = a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 12 \cdot \sin(15^\circ) ]

2. Находим ( d_1 ) и ( d_2 ): [ d_1 = 2 \cdot 12 \cdot \cos(15^\circ), \quad d_2 = 2 \cdot 12 \cdot \sin(15^\circ) ]

3. Подставим значения этих диагоналей в формулу для площади, и мы также получим ( 72 \text{ см}^2 ).

Таким образом, используя оба подхода, мы пришли к одному и тому же результату: площадь ромба равна ( 72 \text{ см}^2 ).