Сторона равностороннего треугольника ABC равна 7. Найдите длину вектора BC+CA

Длина вектора BC+CA равна 7√3.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому каждая сторона треугольника ABC равна 7. Чтобы найти длину вектора ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ), нужно рассмотреть свойства векторов и геометрические особенности равностороннего треугольника.

1. Положение точек: Поскольку ( \triangle ABC ) равносторонний, все углы равны ( 60^\circ ).

2. Векторное сложение: Вектор ( \overrightarrow{BC} ) направлен от точки B к точке C, а вектор ( \overrightarrow{CA} ) - от точки C к точке A.

3. Замкнутость контура: Поскольку ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{CA} ) являются последовательными сторонами треугольника, их сумма ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ) фактически является вектором ( \overrightarrow{BA} ).

4. Вывод: В равностороннем треугольнике вектор ( \overrightarrow{BA} ) равен по длине стороне треугольника, но направлен в противоположную сторону относительно ( \overrightarrow{AB} ). Поэтому длина вектора ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ) равна длине стороны треугольника, которая составляет 7.

Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ) равна 7.

Для того чтобы найти длину вектора BC + CA, нам необходимо сначала найти координаты векторов BC и CA, а затем сложить их.

Поскольку сторона равностороннего треугольника ABC равна 7, то все стороны треугольника равны между собой. Таким образом, длина стороны BC равна 7, а длина стороны CA также равна 7.

Представим вектор BC как вектор, идущий от точки B к точке C, а вектор CA как вектор, идущий от точки C к точке A. Поскольку треугольник равносторонний, угол между векторами BC и CA равен 60 градусов.

Теперь найдем координаты векторов BC и CA. Пусть точка B имеет координаты (0, 0), тогда координаты точек C и A будут (7, 0) и (3.5, 3√3), соответственно.

Координаты вектора BC будут (7-0, 0-0) = (7, 0), а координаты вектора CA будут (3.5-7, 3√3-0) = (-3.5, 3√3).

Теперь сложим эти вектора: (7, 0) + (-3.5, 3√3) = (3.5, 3√3).

Длина вектора BC + CA равна корню из суммы квадратов его координат: sqrt(3.5^2 + (3√3)^2) = sqrt(12.25 + 27) = sqrt(39.25) ≈ 6.27.

Таким образом, длина вектора BC + CA примерно равна 6.27.