Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8. Найдите площадь...

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

1. Правильный четырехугольник (квадрат) и его сторона: По условию, у нас есть правильный четырехугольник, описанный около окружности, сторона которого равна 8. Поскольку правильный четырехугольник является квадратом, его все стороны равны и каждая из них равна 8.

2. Радиус вписанной окружности: Вписанная окружность касается всех сторон квадрата. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Следовательно, радиус ( r ) можно найти следующим образом: [ r = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 ] где ( a ) — сторона квадрата.

3. Окружность и правильный треугольник: Теперь рассмотрим правильный треугольник, вписанный в ту же окружность. Радиус окружности ( R ), описанной около правильного треугольника, равен радиусу окружности, вписанной в квадрат, и равен 4.

4. Сторона правильного треугольника: Для правильного треугольника радиус описанной окружности ( R ) связан со стороной ( a ) треугольника следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Отсюда находим сторону ( a ): [ a = R \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} ]

5. Площадь правильного треугольника: Площадь ( S ) правильного треугольника со стороной ( a ) вычисляется по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] Подставим найденное значение ( a ): [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 \sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 48 = 12 \sqrt{3} ]

Таким образом, площадь правильного треугольника, вписанного в окружность радиусом 4, равна ( 12 \sqrt{3} ).

Для нахождения площади правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, нужно использовать следующую формулу:

S = (a^2 * √3) / 4,

где a - сторона треугольника.

Поскольку сторона правильного четырехугольника, описанного около окружности равна 8, то радиус окружности (R) равен половине этой стороны, т.е. R = 8 / 2 = 4.

Так как треугольник вписан в окружность, его стороны будут равны радиусу окружности, т.е. a = 4.

Подставляем значение a в формулу и получаем:

S = (4^2 √3) / 4 = (16 √3) / 4 = 4√3.

Итак, площадь правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 4, равна 4√3.

Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность равно 8√3.