Сторона прямоугольника равна 8 см и образует с диагональю угол 30 градусов найдите площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужно знать обе его стороны. В данном случае одна сторона известна и равна 8 см. Обозначим эту сторону как ( a = 8 ) см.

Диагональ прямоугольника образует угол 30 градусов с одной из сторон. Этот угол можно использовать для нахождения другой стороны прямоугольника. Обозначим вторую сторону как ( b ).

Для нахождения диагонали ( d ) прямоугольника используем теорему Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Также, зная угол ( \theta ) между стороной ( a ) и диагональю ( d ), можно записать соотношение через тригонометрию: [ \cos(\theta) = \frac{a}{d} ] где ( \theta = 30^\circ ). Значение ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).

Подставим значения в формулу: [ \frac{8}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] Отсюда можем выразить диагональ ( d ): [ d = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \approx 9.24 \text{ см} ]

Теперь, используя теорему Пифагора, выразим ( b ): [ d^2 = a^2 + b^2 ] Подставим известные значения: [ \left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^2 = 8^2 + b^2 ] [ \frac{256}{3} = 64 + b^2 ] Теперь решим это уравнение относительно ( b^2 ): [ b^2 = \frac{256}{3} - 64 = \frac{256}{3} - \frac{192}{3} = \frac{64}{3} ] [ b = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \text{ см} ]

Теперь у нас есть обе стороны прямоугольника: ( a = 8 ) см и ( b \approx 4.62 ) см. Площадь ( S ) прямоугольника вычисляется по формуле: [ S = a \cdot b ] Подставляем значения: [ S = 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{64}{\sqrt{3}} \approx 36.93 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь прямоугольника составляет ( \frac{64}{\sqrt{3}} ) см² или примерно ( 36.93 ) см².

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Одна из сторон прямоугольника составляет 8 см.
2. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен (30^\circ).

Нужно найти площадь прямоугольника.

Шаг 1. Обозначим стороны прямоугольника и диагональ.

Пусть:

• (a = 8 \, \text{см}) — известная сторона прямоугольника.
• (b) — неизвестная сторона прямоугольника.
• (d) — диагональ прямоугольника.

Из условия задачи видно, что сторона (a) образует угол (30^\circ) с диагональю (d).

Шаг 2. Связь диагонали с углом.

Для прямоугольника диагональ (d) и стороны (a) и (b) образуют прямоугольный треугольник. Угол (30^\circ) находится между стороной (a) и диагональю (d). В таком треугольнике можно использовать тригонометрические функции.

Косинус угла (30^\circ) выражается как отношение прилежащего катета (a) к гипотенузе (d): [ \cos 30^\circ = \frac{a}{d}. ] Подставляем значение (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (a = 8): [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{d}. ] Умножим обе стороны на (d) и затем на 2, чтобы выразить (d): [ d = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}. ] Удобно избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на (\sqrt{3}): [ d = \frac{16\sqrt{3}}{3}. ]

Итак, диагональ (d = \frac{16\sqrt{3}}{3}\, \text{см}).

Шаг 3. Используем синус для нахождения второй стороны (b).

Синус угла (30^\circ) выражается как отношение противолежащего катета (b) к гипотенузе (d): [ \sin 30^\circ = \frac{b}{d}. ] Подставляем значение (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}): [ \frac{1}{2} = \frac{b}{d}. ] Умножим обе стороны на (d), чтобы найти (b): [ b = \frac{1}{2} \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}. ]

Таким образом, вторая сторона прямоугольника равна (b = \frac{8\sqrt{3}}{3}\, \text{см}).

Шаг 4. Вычисляем площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника выражается как произведение сторон (a) и (b): [ S = a \cdot b. ] Подставляем значения (a = 8) и (b = \frac{8\sqrt{3}}{3}): [ S = 8 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}. ]

Ответ:

Площадь прямоугольника равна: [ S = \frac{64\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^2 \, \text{(около 36,95 см}^2\text{, если округлить).} ]