Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объём пирамиды
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объём пирамиды
Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Площадь треугольника можно найти по формуле S = (a^2 √3) / 4, где a - длина стороны основания. Высоту пирамиды можно найти по формуле h = a √(2/3). Подставив известные значения, получим V = (1/3) ((6^2 √3) / 4) 6 √(2/3) = (1/3) (18√3) 6 * √(2/3) = 36√2 см^3.
Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) S h,
где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.
Для начала найдем площадь основания. Так как у нас правильный треугольник, то можем воспользоваться формулой:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a - длина стороны основания.
Подставляем данные:
S = (6^2 √3) / 4 = (36 √3) / 4 = 9√3 кв.см.
Теперь найдем высоту пирамиды. Разделим пирамиду на две части - треугольную пирамиду с высотой h и правильный треугольник с катетом h и гипотенузой 6 см. Так как угол при основании равен 60 градусов, то по теореме синусов:
h / sin60 = 6 / sin30,
h / √3/2 = 6 / 1/2,
h = 6√3 см.
Теперь можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) 9√3 6√3 = 54 куб.см.
Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 54 куб.см.
Для решения данной задачи сначала найдем высоту правильной треугольной пирамиды, а затем используем эту информацию для расчета объема.
Расчет высоты пирамиды (апофемы): Поскольку двугранный угол при основании равен 60 градусов, это угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью одной из боковых граней. В правильной треугольной пирамиде боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды, а боковые стороны равны друг другу. Высота этого равнобедренного треугольника (апофема) будет также высотой боковой грани.
Расчет высоты треугольника основания: Сторона основания треугольника равна 6 см. Высота (h) правильного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника, каждый с катетами (h) и (3) см (половина стороны основания) и гипотенузой, равной радиусу вписанной окружности. По теореме Пифагора: [ h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см} ]
Определение высоты пирамиды (H): Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Если опустить перпендикуляр из вершины пирамиды на основание, он упадет в центр тяжести треугольника, формируя высоту пирамиды (H). Используя свойства двугранного угла, можно установить, что апофема, высота пирамиды и радиус вписанной окружности образуют прямоугольный треугольник, где апофема является гипотенузой. Так как двугранный угол равен 60 градусов, то синус этого угла будет отношением противолежащего катета (высоты пирамиды) к гипотенузе (апофеме): [ \sin 60^\circ = \frac{H}{3\sqrt{3}} \Rightarrow H = 3\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} \text{ см} ]
Расчет объема пирамиды: Объем пирамиды вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \cdot \text{Площадь основания} \cdot \text{Высота} ] Площадь основания (правильный треугольник) равна: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 ] Таким образом, объем пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{9}{2} = 13.5\sqrt{3} \text{ см}^3 ]
Таков расчетный объем правильной треугольной пирамиды при данных условиях.
