Составить уравнение плоскости проходящей через точку М(0;-3;2) параллельно плоскости, проходящей через...

Давайте разберем задачу пошагово и составим уравнение плоскости, которую требуется найти.

1. Общая формулировка уравнения плоскости

Уравнение плоскости в пространстве имеет вид:

[ A x + B y + C z + D = 0, ]

где (A), (B), (C) — коэффициенты, определяющие нормальный вектор плоскости (\vec{n} = (A, B, C)), а (D) — свободный член.

Для нахождения уравнения плоскости нужно:

1. Определить вектор нормали (\vec{n}), который перпендикулярен плоскости.
2. Подставить в уравнение координаты заданной точки (M(0, -3, 2)) для нахождения (D).

2. Шаг 1: Найдем нормальный вектор (\vec{n})

Плоскость, через которую проходит наша искомая плоскость, задана тремя точками: (M_1(0, -2, -1)), (M_2(1, -3, 4)), (M_3(1, 1, -1)). Эти точки однозначно задают плоскость.

Шаг 2.1: Построим два направления вектора, лежащие в плоскости.
Направляющие векторы можно найти как разность координат точек: [ \vec{v_1} = \overrightarrow{M_1M_2} = (1 - 0, -3 - (-2), 4 - (-1)) = (1, -1, 5), ] [ \vec{v_2} = \overrightarrow{M_1M_3} = (1 - 0, 1 - (-2), -1 - (-1)) = (1, 3, 0). ]

Шаг 2.2: Найдем векторное произведение (\vec{v_1} \times \vec{v_2}), чтобы получить нормальный вектор (\vec{n}).

Векторное произведение двух векторов ((x_1, y_1, z_1)) и ((x_2, y_2, z_2)) вычисляется по формуле детерминанта: [ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & -1 & 5 \ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}, ] где (\vec{i}), (\vec{j}), (\vec{k}) — единичные векторы по (x), (y), (z).

Рассчитаем детерминант: [ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \ 3 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \ 1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix}. ]

Посчитаем каждый минор: [ \begin{vmatrix} -1 & 5 \ 3 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (5)(3) = -15, ] [ \begin{vmatrix} 1 & 5 \ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (5)(1) = -5, ] [ \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(1) = 3 + 1 = 4. ]

Подставим значения в формулу: [ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \vec{i}(-15) - \vec{j}(-5) + \vec{k}(4), ] [ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-15, 5, 4). ]

Таким образом, нормальный вектор (\vec{n} = (-15, 5, 4)).

3. Шаг 2: Уравнение плоскости параллельно исходной

Искомая плоскость параллельна плоскости, проходящей через (M_1), (M_2), (M_3). Параллельные плоскости имеют одинаковый нормальный вектор, поэтому нормальный вектор искомой плоскости также равен ((-15, 5, 4)).

Подставим нормальный вектор в общее уравнение плоскости: [ -15x + 5y + 4z + D = 0. ]

4. Шаг 3: Найдем (D), подставив точку (M(0, -3, 2))

Точка (M(0, -3, 2)) принадлежит искомой плоскости, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению:

[ -15(0) + 5(-3) + 4(2) + D = 0. ]

Посчитаем: [ 0 - 15 + 8 + D = 0, ] [ D = 7. ]

5. Ответ

Уравнение искомой плоскости: [ -15x + 5y + 4z + 7 = 0. ]

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( M(0, -3, 2) ) и параллельной плоскости, определяемой тремя точками ( M_1(0, -2, -1) ), ( M_2(1, -3, 4) ) и ( M_3(1, 1, -1) ), нам нужно сначала найти нормальный вектор к данной плоскости.

1. Находим два вектора в плоскости, определяемой точками ( M_1, M_2, M_3 ):

   • Вектор ( \vec{v_1} = M_2 - M_1 = (1 - 0, -3 - (-2), 4 - (-1)) = (1, -1, 5) )
   • Вектор ( \vec{v_2} = M_3 - M_1 = (1 - 0, 1 - (-2), -1 - (-1)) = (1, 3, 0) )

2. Находим нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение ( \vec{v_1} ) и ( \vec{v_2} ): [ \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & 5 \ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} ]

   Вычисляем определитель: [ \vec{n} = \hat{i} \cdot ((-1) \cdot 0 - 5 \cdot 3) - \hat{j} \cdot (1 \cdot 0 - 5 \cdot 1) + \hat{k} \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) ] [ = \hat{i} \cdot (0 - 15) - \hat{j} \cdot (0 - 5) + \hat{k} \cdot (3 + 1) ] [ = -15 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k} ] Таким образом, нормальный вектор ( \vec{n} = (-15, 5, 4) ).

3. Составляем уравнение плоскости: Уравнение плоскости в общем виде можно записать как: [ n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0 ] где ( (x_0, y_0, z_0) ) — координаты точки, через которую проходит плоскость, а ( (n_x, n_y, n_z) ) — координаты нормального вектора.

   Подставляем ( M(0, -3, 2) ) и ( \vec{n} = (-15, 5, 4) ): [ -15(x - 0) + 5(y + 3) + 4(z - 2) = 0 ] Раскрываем скобки: [ -15x + 5y + 15 + 4z - 8 = 0 ] Упрощаем: [ -15x + 5y + 4z + 7 = 0 ] Или в более привычной форме: [ 15x - 5y - 4z = 7 ]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку ( M(0, -3, 2) ) и параллельной плоскости, определяемой точками ( M_1, M_2, M_3 ), выглядит так: [ 15x - 5y - 4z = 7. ]