Сколько сторон у многоугольника, если у него 20 диагоналей.

Для того чтобы найти количество сторон у многоугольника, если известно количество диагоналей, используем формулу: [ \text{Диагоналей} = \frac{n \times (n-3)}{2} ]

Где (n) - количество сторон многоугольника. Подставляем данное условие (20 диагоналей) в формулу и находим количество сторон: [ 20 = \frac{n \times (n-3)}{2} ] [ 40 = n \times (n-3) ] [ n^2 - 3n - 40 = 0 ]

Решив квадратное уравнение, найдем два возможных значения для количества сторон многоугольника: [ n_1 = 8 ] [ n_2 = -5 ]

Так как количество сторон многоугольника не может быть отрицательным, то ответом на вопрос будет: у многоугольника 8 сторон.

Чтобы определить количество сторон многоугольника, имеющего 20 диагоналей, можно воспользоваться формулой для вычисления числа диагоналей (d) в (n)-угольнике:

[ d = \frac{n(n-3)}{2} ]

где (n) — количество сторон многоугольника.

Нам известно, что (d = 20). Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно (n):

[ \frac{n(n-3)}{2} = 20 ]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ n(n-3) = 40 ]

Раскроем скобки:

[ n^2 - 3n = 40 ]

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

[ n^2 - 3n - 40 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант ((D)):

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 ]

Поскольку дискриминант равен 169, который является полным квадратом (13^2), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 13}{2} ]

Получаем два корня:

1. (\frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8)
2. (\frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5)

Так как количество сторон не может быть отрицательным, единственно возможный корень — это (n = 8).

Таким образом, у многоугольника с 20 диагоналями 8 сторон.

У многоугольника с 20 диагоналями 10 сторон.