Синус острого угла A треугольника ABC равен 4/5. Найдите косинус (cos) A.

Для того чтобы найти косинус (cos) острого угла ( A ) треугольника ( ABC ), зная его синус (sin), который равен ( \frac{4}{5} ), можно воспользоваться основной тригонометрической тождественной связью, которая существует между синусом и косинусом любого угла. Эта связь описывается следующим уравнением:

[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]

1. Подставим известное значение синуса угла ( A ) в это уравнение: [ \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2 A = 1 ]

2. Вычислим квадрат синуса: [ \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} ]

3. Подставим полученное значение в уравнение: [ \frac{16}{25} + \cos^2 A = 1 ]

4. Теперь вычтем ( \frac{16}{25} ) из обеих частей уравнения, чтобы изолировать ( \cos^2 A ): [ \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} ]

5. Преобразуем единицу к общему знаменателю, чтобы было проще выполнить вычитание: [ 1 = \frac{25}{25} ]

6. Теперь вычтем ( \frac{16}{25} ) из ( \frac{25}{25} ): [ \cos^2 A = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ]

7. Для нахождения ( \cos A ) нужно извлечь квадратный корень из полученного значения: [ \cos A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} ]

8. Вычислим квадратный корень: [ \cos A = \pm \frac{3}{5} ]

Так как углы в треугольнике ( ABC ) являются острыми (и синус угла ( A ) положителен), косинус угла ( A ) также должен быть положительным. Поэтому:

[ \cos A = \frac{3}{5} ]

Ответ: косинус угла ( A ) равен (\frac{3}{5}).

Для решения данной задачи можно воспользоваться тождеством Пифагора: sin^2(A) + cos^2(A) = 1. Известно, что sin(A) = 4/5, следовательно, sin^2(A) = (4/5)^2 = 16/25. Подставим это значение в тождество Пифагора: 16/25 + cos^2(A) = 1. Отсюда находим cos^2(A) = 1 - 16/25 = 9/25. Следовательно, cos(A) = √(9/25) = 3/5. Таким образом, косинус острого угла A треугольника ABC равен 3/5.

cos A = √(1 - sin^2 A) = √(1 - (4/5)^2) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5.