Решите пожалуйста задачу по геометрии! В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со...

1) Диагональ основания призмы равна стороне квадрата умноженной на корень из 2, т.е. d = a√2 = 4√2 см. 2) Диагональ призмы равна диагонали основания деленной на косинус угла между диагональю основания и плоскостью основания, т.е. D = d/cos(60°) = 8 см. 3) Высота призмы равна длине одной из боковых граней призмы, т.е. h = a = 4 см. 4) Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания умноженному на высоту, т.е. Sб = 4ah = 64 см². 5) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований, т.е. Sp = Sб + 2Sосн = 64 + 216√2 = 64 + 32√2 см². 6) Объем призмы равен площади основания умноженной на высоту, т.е. V = a² * h = 64 см³.

Для решения данной задачи по геометрии будем использовать основные формулы и свойства правильной четырёхугольной призмы. Рассмотрим каждый из пунктов поочерёдно.

1. Диагональ основания призмы

Основание призмы – квадрат со стороной ( a = 4 ) см.

Диагональ квадрата ( d ) можно найти по формуле: [ d = a\sqrt{2} ]

Подставляем значение: [ d = 4\sqrt{2} ]

2. Диагональ призмы

Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол ( 60^\circ ). Пусть высота призмы равна ( h ). Тогда диагональ призмы ( D ) будет гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором катеты – это диагональ основания и высота призмы.

Сначала выразим высоту призмы через диагональ основания и угол: [ h = d \cdot \tan 60^\circ ] [ \tan 60^\circ = \sqrt{3} ] [ h = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6} \, \text{см} ]

Диагональ призмы: [ D = \sqrt{d^2 + h^2} ] [ D = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{6})^2} ] [ D = \sqrt{16 \cdot 2 + 16 \cdot 6} ] [ D = \sqrt{32 + 96} ] [ D = \sqrt{128} ] [ D = 8\sqrt{2} \, \text{см} ]

3. Высота призмы

Высота призмы уже найдена в предыдущем шаге: [ h = 4\sqrt{6} \, \text{см} ]

4. Площадь боковой поверхности призмы

Боковая поверхность правильной четырёхугольной призмы состоит из четырёх прямоугольников, каждый из которых имеет длину ( a ) и высоту ( h ).

Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ): [ S{\text{бок}} = 4 \cdot a \cdot h ] [ S{\text{бок}} = 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6} ] [ S{\text{бок}} = 16 \cdot 4\sqrt{6} ] [ S_{\text{бок}} = 64\sqrt{6} \, \text{см}^2 ]

5. Площадь полной поверхности призмы

Полная поверхность призмы состоит из боковой поверхности и двух оснований (два квадрата).

Площадь одного основания: [ S{\text{осн}} = a^2 ] [ S{\text{осн}} = 4^2 = 16 \, \text{см}^2 ]

Площадь полной поверхности ( S{\text{полн}} ): [ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + 2 \cdot S{\text{осн}} ] [ S{\text{полн}} = 64\sqrt{6} + 2 \cdot 16 ] [ S{\text{полн}} = 64\sqrt{6} + 32 \, \text{см}^2 ]

6. Объём призмы

Объём призмы ( V ) можно найти по формуле: [ V = S_{\text{осн}} \cdot h ] [ V = 16 \cdot 4\sqrt{6} ] [ V = 64\sqrt{6} \, \text{см}^3 ]

Итак, ответы на все вопросы:

1. Диагональ основания призмы: ( 4\sqrt{2} \, \text{см} )
2. Диагональ призмы: ( 8\sqrt{2} \, \text{см} )
3. Высота призмы: ( 4\sqrt{6} \, \text{см} )
4. Площадь боковой поверхности призмы: ( 64\sqrt{6} \, \text{см}^2 )
5. Площадь полной поверхности призмы: ( 64\sqrt{6} + 32 \, \text{см}^2 )
6. Объём призмы: ( 64\sqrt{6} \, \text{см}^3 )