Ребро куба efghe1f1g1h1 равно 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ehg и egf1?

Для того чтобы найти тангенс угла между плоскостями ehg и egf1, нам необходимо найти нормальные векторы к этим плоскостям и затем использовать их для расчета угла между ними.

Нормальный вектор к плоскости ehg можно найти как векторное произведение векторов eh и eg: n1 = eh x eg

где eh = e - h и eg = e - g.

eh = (1 - 1) i + (0 - 0) j + (0 - 1) k = -j eg = (1 - 1) i + (0 - 1) j + (1 - 1) k = -j

n1 = -j x (-j) = (-1)(-1) - (0)(0) i + (0)(-1) - (-1)(-1) j + (0)(0) - (-1)(0) k = -1 - 0 i - 0 j + 0 k = -i

Аналогично, нормальный вектор к плоскости egf1 можно найти как векторное произведение векторов eg и ef1: n2 = eg x ef1

где eg = e - g и ef1 = e1 - f1.

eg = (1 - 1) i + (0 - 1) j + (1 - 1) k = -j ef1 = (1 - 1) i + (0 - 0) j + (0 - 1) k = -k

n2 = -j x (-k) = (-1)(-1) - (0)(0) i + (0)(-1) - (-1)(-1) j + (0)(0) - (-1)(0) k = -1 - 0 i - 0 j - 0 k = -i

Теперь, чтобы найти угол между этими плоскостями, мы можем использовать скалярное произведение нормальных векторов:

cos(θ) = (n1 n2) / (|n1| |n2|)

где n1 * n2 - скалярное произведение нормальных векторов, |n1| и |n2| - длины нормальных векторов.

n1 n2 = -1 -1 = 1 |n1| = √((-1)^2) = √1 = 1 |n2| = √((-1)^2) = √1 = 1

cos(θ) = 1 / (1 * 1) = 1

Таким образом, тангенс угла между плоскостями ehg и egf1 равен tg(θ) = sin(θ) / cos(θ) = √(1 - cos^2(θ)) / cos(θ) = √(1 - 1) / 1 = 0 / 1 = 0.

Чтобы найти тангенс угла между двумя плоскостями, нужно сначала определить нормальные векторы к этим плоскостям.

1. Определение вершин куба:

   • Куб efghe1f1g1h1 имеет вершины: ( E(0, 0, 0) ), ( F(1, 0, 0) ), ( G(1, 1, 0) ), ( H(0, 1, 0) ), ( E_1(0, 0, 1) ), ( F_1(1, 0, 1) ), ( G_1(1, 1, 1) ), ( H_1(0, 1, 1) ).

2. Определение нормального вектора плоскости ( EHG ):

   • Плоскость ( EHG ) проходит через точки ( E(0, 0, 0) ), ( H(0, 1, 0) ), ( G(1, 1, 0) ).
   • Векторы в плоскости: ( \overrightarrow{EH} = (0, 1, 0) ) и ( \overrightarrow{EG} = (1, 1, 0) ).
   • Векторное произведение: ( \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{EH} \times \overrightarrow{EG} = (0, 0, 1) ).

3. Определение нормального вектора плоскости ( EGF_1 ):

   • Плоскость ( EGF_1 ) проходит через точки ( E(0, 0, 0) ), ( G(1, 1, 0) ), ( F_1(1, 0, 1) ).
   • Векторы в плоскости: ( \overrightarrow{EG} = (1, 1, 0) ) и ( \overrightarrow{EF_1} = (1, 0, 1) ).
   • Векторное произведение: ( \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EF_1} = (1, 1, -1) ).

4. Нахождение косинуса угла между плоскостями:

   • Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормальными векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} ]
   • Скалярное произведение: ( \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0, 0, 1) \cdot (1, 1, -1) = -1 ).
   • Длины векторов: ( |\overrightarrow{n_1}| = 1 ), ( |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} ).
   • (\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}).

5. Нахождение тангенса угла между плоскостями:

   • Используем формулу для тангенса угла через косинус: [ \tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^2}}{\frac{-1}{\sqrt{3}}} ]
   • (\tan \theta = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{-1}{\sqrt{3}}} = -\sqrt{2}).

Таким образом, тангенс угла между плоскостями ( EHG ) и ( EGF_1 ) равен (-\sqrt{2}).