Разверкойтбоковой поверхности конуса является полукруг площадью 18П кв.см. Найти площадь осевого сечения...

Для решения задачи начнем с анализа предоставленной информации:

1. Развертка боковой поверхности конуса является полукругом, площадь которого равна ( 18\pi ) кв. см.
2. Нужно найти площадь осевого сечения конуса.

Разберем задачу по шагам:

Шаг 1. Связь между разверткой боковой поверхности и размерами конуса

Развертка боковой поверхности конуса имеет форму полукруга. Радиус этого полукруга равен длине образующей конуса (( l )), а площадь полукруга выражается как:

[ S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \pi l^2 ]

По условию, площадь полукруга равна ( 18\pi ). Подставим это в формулу:

[ \frac{1}{2} \pi l^2 = 18\pi ]

Сократим на ( \pi ) и умножим на 2:

[ l^2 = 36 ]

Следовательно, длина образующей:

[ l = 6 \, \text{см.} ]

Шаг 2. Радиус основания конуса

В развертке боковой поверхности длина дуги полукруга равна длине окружности основания конуса. Длина дуги полукруга выражается как:

[ L_{\text{дуги}} = \pi l ]

Подставим ( l = 6 ):

[ L_{\text{дуги}} = \pi \cdot 6 = 6\pi ]

Эта длина равна длине окружности основания конуса:

[ L_{\text{основания}} = 2\pi r ]

Где ( r ) — радиус основания конуса. Приравняем:

[ 2\pi r = 6\pi ]

Сократим на ( \pi ) и решим относительно ( r ):

[ 2r = 6 \quad \Rightarrow \quad r = 3 \, \text{см.} ]

Шаг 3. Высота конуса

Теперь найдем высоту конуса (( h )) с помощью теоремы Пифагора. В прямом круговом конусе образующая (( l )), радиус основания (( r )) и высота (( h )) связаны следующим соотношением:

[ l^2 = r^2 + h^2 ]

Подставим известные величины (( l = 6 ), ( r = 3 )):

[ 6^2 = 3^2 + h^2 ]

[ 36 = 9 + h^2 ]

[ h^2 = 36 - 9 = 27 ]

[ h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{см.} ]

Шаг 4. Площадь осевого сечения

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса (( 2r )), а высота равна высоте конуса (( h )). Площадь треугольника вычисляется по формуле:

[ S_{\text{осевого сечения}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} ]

Подставим значения (( \text{основание} = 2r = 6 ), ( \text{высота} = h = 3\sqrt{3} )):

[ S_{\text{осевого сечения}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} ]

[ S_{\text{осевого сечения}} = 9\sqrt{3} \, \text{кв. см.} ]

Ответ:

Площадь осевого сечения конуса равна ( 9\sqrt{3} \, \text{кв. см.} ).

Чтобы найти площадь осевого сечения конуса, начнем с анализа данных.

1. Площадь боковой поверхности конуса: Площадь боковой поверхности конуса (Sб) равна половине произведения длины окружности основания на высоту конуса, но в нашем случае нам дана площадь боковой поверхности в виде полукруга. Площадь полукруга равна:

   [ S = \frac{1}{2} \pi R^2 ]

   где ( R ) — радиус полукруга. В нашем случае:

   [ \frac{1}{2} \pi R^2 = 18\pi ]

   Упростим это уравнение:

   [ R^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad R = 6 \text{ см} ]

   Это значение отражает радиус основания конуса.

2. Нахождение высоты конуса: Площадь боковой поверхности конуса также может быть выражена через радиус основания (R) и образующую (l) конуса:

   [ Sб = \pi R l ]

   Подставляем известный радиус:

   [ 18\pi = \pi \cdot 6 \cdot l \quad \Rightarrow \quad 18 = 6l \quad \Rightarrow \quad l = 3 \text{ см} ]

3. Нахождение высоты конуса: В конусе образующая (l), радиус основания (R) и высота (h) связаны следующим образом:

   [ l^2 = R^2 + h^2 ]

   Подставляя известные значения:

   [ 3^2 = 6^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad 9 = 36 + h^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 9 - 36 \quad \Rightarrow \quad h^2 = -27 ]

   Мы получили отрицательное значение, что указывает на ошибку в расчетах. Давайте пересчитаем высоту:

   [ h^2 = l^2 - R^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 3^2 - 6^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 9 - 36 ]

   Ошибка в вычислениях выше. Правильный порядок:

   [ h^2 = l^2 - R^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 3^2 - 6^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 9 - 36 = -27 \text{ (недопустимо)} ]

   Мы видим, что высота в этом случае должна быть пересчитана, но по факту конструкция не может существовать. Вероятно, где-то в расчетах была допущена ошибка в отношении.

4. Площадь осевого сечения: Площадь осевого сечения конуса (Sос) — это треугольник, основанием которого является радиус основания конуса (R), а высотой — высота конуса (h):

   [ Sос = \frac{1}{2} \cdot R \cdot h ]

   Так как мы не смогли найти корректный h, нужно пересмотреть данные о величинах.

На основе анализа того, что изначально данная информация может быть неверна, для корректного вычисления необходимо уточнить параметры конуса: его истинные размеры и значения.

Площадь боковой поверхности конуса равна ( S = \pi r l ), где ( r ) — радиус основания, ( l ) — образующая. Если развертка боковой поверхности представляет собой полукруг, то его площадь равна ( \frac{1}{2} \pi R^2 ), где ( R ) — радиус полукруга.

По условию задачи: [ \frac{1}{2} \pi R^2 = 18\pi ] Сокращая на ( \pi ): [ \frac{1}{2} R^2 = 18 ] [ R^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad R = 6 ]

Радиус основания конуса равен радиусу полукруга, то есть ( r = 6 ).

Теперь найдем площадь осевого сечения конуса, которая равна площади треугольника с основанием ( 2r ) и высотой ( h ). Но мы пока не знаем высоту ( h ).

Также известно, что образующая ( l ) равна радиусу полукруга: [ l = R = 6 ]

Теперь используя теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей: [ l^2 = r^2 + h^2 ] Подставим известные значения: [ 6^2 = 6^2 + h^2 ] [ 36 = 36 + h^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad h = 0 ]

Это означает, что осевое сечение (треугольник) имеет нулевую высоту, и таким образом, площадь осевого сечения: [ S_{\text{осевое}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = 0 ]

Итак, площадь осевого сечения конуса равна ( 0 ) кв.см.