Разность катетов прямоугольного треугольника равна 2 см. Найдите длины катетов, если площадь прямоугольного треугольника равна 24см^2
Разность катетов прямоугольного треугольника равна 2 см. Найдите длины катетов, если площадь прямоугольного треугольника равна 24см^2
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Тогда уравнение для площади треугольника будет: S = (a b) / 2 = 24 a b = 48
Также из условия задачи известно, что разность катетов равна 2 см: a - b = 2
Теперь можем решить систему уравнений: a * b = 48 a - b = 2
Получаем, что a = 8 см, b = 6 см.
Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, где известна разность катетов и площадь, можно использовать систему уравнений. Обозначим катеты как (a) и (b), причём (a > b), тогда:
1) (a - b = 2) см (разность катетов), 2) (\frac{1}{2}ab = 24) см² (площадь треугольника).
Из второго уравнения можно выразить (ab = 48). Подставим это значение в уравнение для разности катетов. Рассмотрим уравнение (ab = 48) и подставим (a = b + 2) (из первого уравнения):
[ (b + 2)b = 48 ] [ b^2 + 2b - 48 = 0 ]
Решим получившееся квадратное уравнение. Дискриминант (D) этого уравнения находится по формуле:
[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 ]
Корень из дискриминанта:
[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 ]
Теперь найдём корни уравнения:
[ b_1 = \frac{-2 + 14}{2} = 6, ] [ b_2 = \frac{-2 - 14}{2} = -8 ]
Отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной. Следовательно, (b = 6) см. Теперь найдём (a):
[ a = b + 2 = 6 + 2 = 8 ]
Итак, длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 6 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Поэтому, зная, что площадь равна 24 см², можно записать уравнение:
( \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 24 )
где а и b - длины катетов.
Также из условия задачи известно, что разность катетов равна 2 см, то есть b - a = 2.
Теперь мы имеем систему уравнений:
1) ( \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 24 ) 2) b - a = 2
Из уравнения 2 можно выразить b через a: b = a + 2
Подставим это в уравнение 1:
( \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 2) = 24 )
( a^2 + 2a = 48 )
( a^2 + 2a - 48 = 0 )
Решив квадратное уравнение, получим два возможных значения для а: a = 6 или a = -8.
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то a = 6 см.
Теперь найдем длину второго катета:
b = a + 2 = 6 + 2 = 8 см
Итак, длины катетов прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см.
