Равнобедренная трапеция основания которой 4 и 6 см а высота 3 см вращается относительно оси симметрии...

Тематика Геометрия
Уровень 5 - 9 классы
равнобедренная трапеция объем тела вращения ось симметрии высота 3 см основания 4 см и 6 см геометрия математика вычисление объема фигура вращения
0

равнобедренная трапеция основания которой 4 и 6 см а высота 3 см вращается относительно оси симметрии найдите объем тела вращения

avatar
задан 7 месяцев назад

2 Ответа

0

Для того чтобы найти объем тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии, можно использовать метод интегрирования или формулы для тел вращения.

  1. Построение трапеции и оси симметрии: Равнобедренная трапеция имеет основания a=4 см и b=6 см и высоту h=3 см. Центр симметрии трапеции находится на середине высоты, следовательно, её ось симметрии проходит через середины оснований.

  2. Разбиение трапеции на элементы: Чтобы упростить вычисления, представим трапецию как два прямоугольных треугольника и один прямоугольник, расположенные симметрично относительно оси вращения. Длина боковых сторон треугольников будет: ba2=642=1см Таким образом, боковые стороны трапеции равны: h2+(ba2)2=32+12=10см

  3. Образование тела вращения: Вращаем трапецию вокруг оси симметрии. Она образует тело, которое можно рассматривать как комбинацию цилиндра и двух усеченных конусов илипараболическихсегментов.

  4. Объем цилиндра: Цилиндр имеет высоту h и радиус, равный половине меньшего основания, то есть: R=a2=42=2см Объем цилиндра: Vцилиндра=πR2h=π(22)3=12πсм3

  5. Объем усеченных конусов: Верхняя и нижняя части трапеции образуют два усеченных конуса. Радиусы оснований усеченных конусов:

    • Нижнего конуса: R1=b2=62=3см
    • Верхнего конуса: R2=a2=42=2см

    Формула объема усеченного конуса: Vусечённого конуса=13πh(R12+R1R2+R22)

    Подставим значения для объема верхнего усеченного конуса: Vверхнего=13πh(22+23+32)=13π3(4+6+9)=13π319=19πсм3

    Объём нижнего конуса: Vнижнего=13πh(22+23+32)=19πсм3

  6. Суммирование объемов: Полный объем тела вращения можно найти как сумму объемов цилиндра и двух усеченных конусов: [ V{\text{тела}} = V{\text{цилиндра}} + 2 \cdot V_{\text{усечённого конуса}} = 12\pi + 2 \cdot 19\pi = 12\pi + 38\pi = 50\pi \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем тела вращения равнобедренной трапеции, основания которой 4 и 6 см, а высота 3 см, относительно оси симметрии составляет 50π кубических сантиметров.

avatar
ответил 7 месяцев назад
0

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь фигуры, которая образуется при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии. Данная фигура будет иметь форму тела вращения, а именно цилиндра.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = a+b * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота.

Подставив значения, получим: S = 4+6 * 3 / 2 = 30 кв.см.

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, необходимо умножить площадь фигуры на длину окружности, образующей основание цилиндра, то есть на периметр трапеции. Периметр трапеции можно найти по формуле: P = a + b + 2 * √h2+((ba / 2)^2).

Подставив значения, получим: P = 4 + 6 + 2 32+((64 / 2)^2) = 4 + 6 + 2 9+1 = 4 + 6 + 2 * √10 = 10 + 6√10 см.

Теперь находим объем тела вращения по формуле: V = S P = 30 10+610 = 300 + 180√10 куб.см.

Итак, объем тела вращения равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 6 см и высотой 3 см относительно оси симметрии составляет 300 + 180√10 куб.см.

avatar
ответил 7 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме