Равнобедренная трапеция основания которой 4 и 6 см а высота 3 см вращается относительно оси симметрии...

Для того чтобы найти объем тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии, можно использовать метод интегрирования или формулы для тел вращения.

1. Построение трапеции и оси симметрии: Равнобедренная трапеция имеет основания $a=4$ см и $b=6$ см и высоту $h=3$ см. Центр симметрии трапеции находится на середине высоты, следовательно, её ось симметрии проходит через середины оснований.

2. Разбиение трапеции на элементы: Чтобы упростить вычисления, представим трапецию как два прямоугольных треугольника и один прямоугольник, расположенные симметрично относительно оси вращения. Длина боковых сторон треугольников будет: $\frac{b-a}{2}=\frac{6-4}{2}=1\text{см}$ Таким образом, боковые стороны трапеции равны: $\sqrt{h^2+{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\text{см}$

3. Образование тела вращения: Вращаем трапецию вокруг оси симметрии. Она образует тело, которое можно рассматривать как комбинацию цилиндра и двух усеченных конусов $илипараболическихсегментов$.

4. Объем цилиндра: Цилиндр имеет высоту $h$ и радиус, равный половине меньшего основания, то есть: $R=\frac{a}{2}=\frac{4}{2}=2\text{см}$ Объем цилиндра: $V_{\text{цилиндра}}=\pi R^{2}h=\pi (2^2)\cdot 3=12\pi {\text{см}}^3$

5. Объем усеченных конусов: Верхняя и нижняя части трапеции образуют два усеченных конуса. Радиусы оснований усеченных конусов:

   • Нижнего конуса: $R_1=\frac{b}{2}=\frac{6}{2}=3\text{см}$
   • Верхнего конуса: $R_2=\frac{a}{2}=\frac{4}{2}=2\text{см}$

   Формула объема усеченного конуса: $V_{\text{усечённого конуса}}=\frac{1}{3}\pi h(R_1^2+R_1{R}_2+R_2^2)$

   Подставим значения для объема верхнего усеченного конуса: $V_{\text{верхнего}}=\frac{1}{3}\pi h(2^2+2\cdot 3+3^2)=\frac{1}{3}\pi \cdot 3(4+6+9)=\frac{1}{3}\pi \cdot 3\cdot 19=19\pi {\text{см}}^3$

   Объём нижнего конуса: $V_{\text{нижнего}}=\frac{1}{3}\pi h(2^2+2\cdot 3+3^2)=19\pi {\text{см}}^3$

6. Суммирование объемов: Полный объем тела вращения можно найти как сумму объемов цилиндра и двух усеченных конусов: [ V{\text{тела}} = V{\text{цилиндра}} + 2 \cdot V_{\text{усечённого конуса}} = 12\pi + 2 \cdot 19\pi = 12\pi + 38\pi = 50\pi \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем тела вращения равнобедренной трапеции, основания которой 4 и 6 см, а высота 3 см, относительно оси симметрии составляет $50\pi$ кубических сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь фигуры, которая образуется при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии. Данная фигура будет иметь форму тела вращения, а именно цилиндра.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = $a+b$ * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота.

Подставив значения, получим: S = $4+6$ * 3 / 2 = 30 кв.см.

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, необходимо умножить площадь фигуры на длину окружности, образующей основание цилиндра, то есть на периметр трапеции. Периметр трапеции можно найти по формуле: P = a + b + 2 * √$h^2+((b-a$ / 2)^2).

Подставив значения, получим: P = 4 + 6 + 2 √$3^2+((6-4$ / 2)^2) = 4 + 6 + 2 √$9+1$ = 4 + 6 + 2 * √10 = 10 + 6√10 см.

Теперь находим объем тела вращения по формуле: V = S P = 30 $10+6\surd 10$ = 300 + 180√10 куб.см.

Итак, объем тела вращения равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 6 см и высотой 3 см относительно оси симметрии составляет 300 + 180√10 куб.см.