Равнобедренная трапеция основания которой 4 и 6 см а высота 3 см вращается относительно оси симметрии...

Для того чтобы найти объем тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии, можно использовать метод интегрирования или формулы для тел вращения.

1. Построение трапеции и оси симметрии: Равнобедренная трапеция имеет основания ( a = 4 ) см и ( b = 6 ) см и высоту ( h = 3 ) см. Центр симметрии трапеции находится на середине высоты, следовательно, её ось симметрии проходит через середины оснований.

2. Разбиение трапеции на элементы: Чтобы упростить вычисления, представим трапецию как два прямоугольных треугольника и один прямоугольник, расположенные симметрично относительно оси вращения. Длина боковых сторон треугольников будет: [ \frac{b - a}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \, \text{см} ] Таким образом, боковые стороны трапеции равны: [ \sqrt{h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \, \text{см} ]

3. Образование тела вращения: Вращаем трапецию вокруг оси симметрии. Она образует тело, которое можно рассматривать как комбинацию цилиндра и двух усеченных конусов (или параболических сегментов).

4. Объем цилиндра: Цилиндр имеет высоту ( h ) и радиус, равный половине меньшего основания, то есть: [ R = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см} ] Объем цилиндра: [ V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h = \pi (2^2) \cdot 3 = 12\pi \, \text{см}^3 ]

5. Объем усеченных конусов: Верхняя и нижняя части трапеции образуют два усеченных конуса. Радиусы оснований усеченных конусов:

   • Нижнего конуса: ( R_1 = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см} )
   • Верхнего конуса: ( R_2 = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см} )

   Формула объема усеченного конуса: [ V_{\text{усечённого конуса}} = \frac{1}{3} \pi h \left( R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 \right) ]

   Подставим значения для объема верхнего усеченного конуса: [ V_{\text{верхнего}} = \frac{1}{3} \pi h \left( 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2 \right) = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \left( 4 + 6 + 9 \right) = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 19 = 19\pi \, \text{см}^3 ]

   Объём нижнего конуса: [ V_{\text{нижнего}} = \frac{1}{3} \pi h \left( 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2 \right) = 19\pi \, \text{см}^3 ]

6. Суммирование объемов: Полный объем тела вращения можно найти как сумму объемов цилиндра и двух усеченных конусов: [ V{\text{тела}} = V{\text{цилиндра}} + 2 \cdot V_{\text{усечённого конуса}} = 12\pi + 2 \cdot 19\pi = 12\pi + 38\pi = 50\pi \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем тела вращения равнобедренной трапеции, основания которой 4 и 6 см, а высота 3 см, относительно оси симметрии составляет ( 50\pi ) кубических сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь фигуры, которая образуется при вращении равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии. Данная фигура будет иметь форму тела вращения, а именно цилиндра.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота.

Подставив значения, получим: S = (4 + 6) * 3 / 2 = 30 кв.см.

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, необходимо умножить площадь фигуры на длину окружности, образующей основание цилиндра, то есть на периметр трапеции. Периметр трапеции можно найти по формуле: P = a + b + 2 * √(h^2 + ((b - a) / 2)^2).

Подставив значения, получим: P = 4 + 6 + 2 √(3^2 + ((6 - 4) / 2)^2) = 4 + 6 + 2 √(9 + 1) = 4 + 6 + 2 * √10 = 10 + 6√10 см.

Теперь находим объем тела вращения по формуле: V = S P = 30 (10 + 6√10) = 300 + 180√10 куб.см.

Итак, объем тела вращения равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 6 см и высотой 3 см относительно оси симметрии составляет 300 + 180√10 куб.см.