Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 2 см найдите периметр треугольника и...

Для начала найдем высоту равностороннего треугольника, которая равна ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ), где ( a ) - длина стороны треугольника. Из условия задачи известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см, следовательно, длина высоты треугольника равна 2 см. Таким образом, получаем уравнение: ( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = 2 ), откуда ( a = \frac{4}{\sqrt{3}} ) см.

Периметр равностороннего треугольника равен ( P = 3a = 3 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} ) см.

Далее, найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ), где ( a ) - длина стороны треугольника. Подставляя значение длины стороны треугольника, получим: ( R = \frac{4}{3} ) см.

Итак, периметр треугольника равен ( \frac{12}{\sqrt{3}} ) см, а радиус описанной окружности равен ( \frac{4}{3} ) см.

Чтобы найти периметр и радиус описанной окружности равностороннего треугольника, зная радиус вписанной окружности, можно воспользоваться следующими формулами и свойствами равностороннего треугольника.

1. Радиус вписанной окружности (r):

   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности ( r ) связан со стороной треугольника ( a ) следующим образом: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

   По условию нам дано, что ( r = 2 ) см. Подставим это значение в формулу: [ 2 = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

   Умножим обе стороны уравнения на 6: [ 12 = a \sqrt{3} ]

   Разделим обе стороны уравнения на (\sqrt{3}): [ a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} ]

2. Периметр треугольника (P):

   Периметр равностороннего треугольника равен тройной длине его стороны: [ P = 3a = 3 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} ]

3. Радиус описанной окружности (R):

   Радиус описанной окружности ( R ) для равностороннего треугольника связан со стороной треугольника следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

   Подставим найденное значение ( a ): [ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 ]

Итак, искомые величины равны:

• Периметр треугольника ( P = 12\sqrt{3} ) см.
• Радиус описанной окружности ( R = 4 ) см.