Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60 градусов. Вычислите...

Чтобы найти объем шарового сегмента, начнем с анализа задачи и используем необходимые формулы.

Дано:

• Радиус основания шарового сегмента ( R = 8 \, \text{см} ),
• Дуга осевого сечения содержит ( 60^\circ ). Это соответствует центральному углу, равному ( \theta = 60^\circ ).

Задача:

Найти объем шарового сегмента.

Шаг 1: Формула объема шарового сегмента

Объем шарового сегмента определяется формулой: [ V = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h), ] где:

• ( R ) — радиус шара,
• ( h ) — высота сегмента.

Шаг 2: Определение высоты сегмента ( h )

Высота ( h ) сегмента — это расстояние от основания сегмента до вершины (верхней точки) его сферической поверхности. Чтобы найти ( h ), нужно учесть, что угол ( \theta = 60^\circ ) задает положение сегмента относительно центра шара.

Угол ( \theta ) — это центральный угол, опирающийся на дугу осевого сечения. Угол в радианах равен: [ \theta_{\text{рад}} = \frac{60^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}. ]

Теперь используем геометрическое представление: высота шарового сегмента ( h ) связана с радиусом ( R ) шара и углом ( \theta/2 ). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом ( R ), перпендикуляром от центра шара на основание сегмента, и отрезком, соединяющим основание сегмента с верхней точкой сферы.

Высота ( h ) вычисляется как: [ h = R (1 - \cos(\theta/2)). ]

Подставим значения: [ \theta/2 = \frac{\pi}{6}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}. ] [ h = 8 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 8 - 4\sqrt{3}. ]

Итак, высота сегмента: [ h = 8 - 4\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 3: Подставим значения в формулу объема

Теперь подставим ( R = 8 ) и ( h = 8 - 4\sqrt{3} ) в формулу объема: [ V = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h). ]

Найдем сначала ( h^2 ): [ h^2 = (8 - 4\sqrt{3})^2 = 64 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 64 - 64\sqrt{3} + 48 = 112 - 64\sqrt{3}. ]

Теперь посчитаем ( 3R - h ): [ 3R - h = 3 \cdot 8 - (8 - 4\sqrt{3}) = 24 - 8 + 4\sqrt{3} = 16 + 4\sqrt{3}. ]

Подставим всё в формулу: [ V = \frac{\pi (112 - 64\sqrt{3})}{3} \cdot (16 + 4\sqrt{3}). ]

Раскроем скобки: [ V = \frac{\pi}{3} \cdot \big[(112 \cdot 16 + 112 \cdot 4\sqrt{3}) - (64\sqrt{3} \cdot 16 + 64\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3})\big]. ]

Упростим: [ V = \frac{\pi}{3} \cdot \big[1792 + 448\sqrt{3} - (1024\sqrt{3} + 768)\big]. ] [ V = \frac{\pi}{3} \cdot \big[1792 - 768 + 448\sqrt{3} - 1024\sqrt{3}\big]. ] [ V = \frac{\pi}{3} \cdot \big[1024 - 576\sqrt{3}\big]. ]

Разделим на 3: [ V = \frac{1024\pi}{3} - \frac{576\sqrt{3}\pi}{3}. ]

Ответ:

Объем шарового сегмента: [ V = \frac{1024\pi}{3} - \frac{576\sqrt{3}\pi}{3} \, \text{см}^3. ]

Чтобы вычислить объём шарового сегмента, необходимо использовать формулу для объёма сегмента, которая выглядит следующим образом:

[ V = \frac{h}{3} \cdot (A + \sqrt{A^2 + 4R^2h}) ]

где:

• ( V ) — объём сегмента,
• ( h ) — высота сегмента,
• ( R ) — радиус сферы,
• ( A ) — площадь основания сегмента.

В данном случае радиус основания ( R = 8 ) см, и дуга осевого сечения составляет ( 60^\circ ).

1. Находим высоту сегмента ( h ): Дуга осевого сечения соответствует центральному углу в ( 60^\circ ). Поскольку радиус основания равен ( R ), мы можем найти высоту сегмента, используя треугольник, образованный радиусом, высотой и половиной диаметра.

   Высота сегмента ( h ) может быть найдена по формуле:

   [ h = R - R \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) ] где ( \theta = 60^\circ ). Подставляем значения:

   [ h = 8 - 8 \cos\left(30^\circ\right) ] Значение ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ):

   [ h = 8 - 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 - 4\sqrt{3} ]

2. Находим площадь основания ( A ): Площадь основания сегмента – это круг, радиус которого равен ( R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) ):

   [ r = R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 8 \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} ]

   Площадь основания ( A ):

   [ A = \pi r^2 = \pi (4)^2 = 16\pi \text{ см}^2 ]

3. Теперь подставим значения в формулу для объёма ( V ):

   [ V = \frac{h}{3} \cdot (A + \sqrt{A^2 + 4R^2h}) ]

   Подставляем ( h = 8 - 4\sqrt{3} ), ( A = 16\pi ), ( R = 8 ):

   [ V = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{3} \cdot \left(16\pi + \sqrt{(16\pi)^2 + 4 \cdot 8^2 \cdot (8 - 4\sqrt{3})}\right) ]

   [ = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{3} \cdot \left(16\pi + \sqrt{256\pi^2 + 4 \cdot 64 \cdot (8 - 4\sqrt{3})}\right) ]

   [ = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{3} \cdot \left(16\pi + \sqrt{256\pi^2 + 256(8 - 4\sqrt{3})}\right) ]

   Вычисление подкоренного выражения и последующее подставление может быть довольно сложным, поэтому рекомендуется использовать численные методы или калькулятор для нахождения точного значения объёма.

Таким образом, объём шарового сегмента можно получить, следуя указанным шагам и подставляя соответствующие значения.