Радиус окружности ,описанной около правильного многоугольника со стороной 8 см , равен 4 корень из 2...

Для решения задачи определим количество сторон правильного многоугольника, используя известные данные: длину стороны (a = 8 см) и радиус описанной окружности (R = 4√2 см).

1. Нахождение количества сторон (n):

   Формула радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника, выражается через длину стороны и количество сторон следующим образом: [ R = \frac{a}{2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)} ] Подставим известные значения в формулу: [ 4\sqrt{2} = \frac{8}{2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)} ] Упростим уравнение: [ 4\sqrt{2} = \frac{8}{2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)} \Rightarrow 4\sqrt{2} = \frac{4}{\sin \left( \frac{\pi}{n} \right)} ] [ \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} ] Значение (\sin \left( \frac{\pi}{n} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}) соответствует углу (\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}), что дает: [ \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow n = 4 ] Таким образом, количество сторон многоугольника ( n = 4 ). Это означает, что данный многоугольник — квадрат.

2. Нахождение радиуса вписанной окружности (r):

   Радиус вписанной окружности для правильного многоугольника можно найти по формуле: [ r = R \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) ] Для квадрата (( n = 4 )): [ r = 4\sqrt{2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) ] Поскольку (\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}), то: [ r = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 1 = 4 \text{ см} ]

Итак, количество сторон правильного многоугольника равно 4 (это квадрат), а радиус вписанной окружности равен 4 см.

Радиус описанной окружности правильного многоугольника равен половине длины его стороны умноженной на cosec(180° / n), где n - количество сторон многоугольника.

Из условия задачи, радиус описанной окружности равен 4√2, а сторона многоугольника равна 8 см. Таким образом, 8 / 2 * cosec(180° / n) = 4√2. Решив это уравнение, мы найдем, что n = 8.

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности правильного многоугольника, используем формулу: радиус вписанной окружности = сторона / (2 tg(180° / n)). Подставив известные значения, получим: 8 / (2 tg(180° / 8)) ≈ 4.828 см.

Итак, количество сторон данного многоугольника равно 8, а радиус вписанной окружности равен примерно 4.828 см.