Радиус окружности, описанной около основания правильной шестиугольной призмы, равен 3см. Найдите площадь...

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, нам нужно учесть как площадь боковой поверхности, так и площадь двух оснований.

Шаг 1: Найдите сторону правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников. Если радиус окружности, описанной около шестиугольника (который также является радиусом окружности, описанной около каждого из этих треугольников), равен ( R = 3 ) см, то сторона каждого равностороннего треугольника (и, соответственно, сторона шестиугольника) также равна ( 3 ) см.

Шаг 2: Найдите площадь одного правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника ( A ) может быть найдена с использованием формулы для площади равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника со стороной ( a ) равна:

[ A_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

Для шестиугольника, состоящего из шести таких треугольников, общая площадь будет:

[ A_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{2} \times 6 = 27\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Шаг 3: Найдите площадь боковой поверхности призмы

Боковая поверхность призмы представляет собой прямоугольники, высота которых равна высоте призмы, а ширина — стороне основания. Площадь боковой поверхности ( A_{\text{боковая}} ) равна:

[ A_{\text{боковая}} = \text{периметр основания} \times \text{высота призмы} ]

Периметр правильного шестиугольника со стороной ( 3 ) см равен ( 6 \times 3 = 18 ) см. Тогда площадь боковой поверхности:

[ A_{\text{боковая}} = 18 \times 10 = 180 \, \text{см}^2 ]

Шаг 4: Найдите полную площадь поверхности призмы

Полная площадь поверхности призмы ( A_{\text{полная}} ) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

[ A{\text{полная}} = A{\text{боковая}} + 2 \times A_{\text{шестиугольника}} = 180 + 2 \times 27\sqrt{3} ]

[ A_{\text{полная}} = 180 + 54\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, полная площадь поверхности правильной шестиугольной призмы равна ( 180 + 54\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам нужно найти боковую площадь призмы и площадь основания, а затем сложить их вместе.

1. Найдем боковую площадь призмы: Так как призма правильная и имеет форму правильного шестиугольника, то каждая боковая грань призмы также является правильным шестиугольником. Площадь боковой поверхности правильного шестиугольника можно найти по формуле: Sбок = П a h, где П - периметр основания, a - длина стороны правильного шестиугольника, h - высота призмы.

Для правильного шестиугольника периметр можно найти по формуле: П = 6 * a, где a - длина стороны правильного шестиугольника.

Так как радиус описанной окружности равен 3 см, то длина стороны правильного шестиугольника равна 2 * 3 = 6 см.

Теперь можем найти периметр основания: П = 6 * 6 = 36 см.

Теперь можем найти боковую площадь призмы: Sбок = 36 * 10 = 360 см².

1. Найдем площадь основания призмы: Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: Sосн = (3 √3 a²) / 2, где a - длина стороны правильного шестиугольника.

Так как a = 6 см, то Sосн = (3 √3 6²) / 2 = 54√3 см².

1. Найдем площадь полной поверхности призмы: Sполн = 2 Sосн + Sбок = 2 54√3 + 360 = 108√3 + 360 ≈ 568,48 см².

Итак, площадь полной поверхности данной призмы составляет примерно 568,48 квадратных сантиметров.