Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите...

Для решения задачи о усеченном конусе начнем с определения его элементов. У нас есть следующие данные:

• Радиус большего основания ( R = 7 ) см,
• Образующая ( l = 5 ) см,
• Высота ( h = 4 ) см.

1. Найдем радиус меньшего основания ( r ). Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом большего основания и образующей, можно найти радиус меньшего основания ( r ): [ l^2 = h^2 + (R - r)^2 ] Подставим известные значения: [ 5^2 = 4^2 + (7 - r)^2 ] [ 25 = 16 + (7 - r)^2 ] [ (7 - r)^2 = 9 ] [ 7 - r = 3 \quad \text{или} \quad 7 - r = -3 ] [ r = 4 \quad \text{или} \quad r = 10 ] Так как ( r ) не может быть больше ( R ), то ( r = 4 ) см.

2. Площадь осевого сечения. Осевое сечение усеченного конуса - это прямоугольник, высота которого равна высоте конуса ( h ), а ширина - расстояние между параллельными основаниями, то есть длина образующей ( l ). Площадь прямоугольника: [ S_{\text{осевое}} = h \times l = 4 \times 5 = 20 \text{ см}^2 ]

3. Площадь боковой поверхности. Формула боковой поверхности усеченного конуса: [ S{\text{бок}} = \pi (R + r) l ] Подставим значения: [ S{\text{бок}} = \pi (7 + 4) \times 5 = \pi \times 11 \times 5 = 55\pi \text{ см}^2 ] Это приблизительно равно ( 172.79 \text{ см}^2 ), если принять ( \pi \approx 3.14159 ).

Итак, площадь осевого сечения усеченного конуса составляет 20 см², а площадь его боковой поверхности около 172.79 см².

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус меньшего основания усеченного конуса. Обозначим его через ( r ).

Используем подобие треугольников. Так как у нас есть два подобных треугольника - один внутри другого, то отношение радиусов оснований равно отношению высот конусов: [ \frac{r}{7} = \frac{r + 5}{4} ] Решив это уравнение, мы найдем, что ( r = \frac{35}{9} ) см.

Теперь можем найти площадь осевого сечения конуса. Осевое сечение конуса представляет собой круг, площадь которого равна ( \pi r^2 ). Таким образом, площадь осевого сечения равна ( \pi (\frac{35}{9})^2 ) см².

Для нахождения боковой поверхности конуса воспользуемся формулой ( S = \pi l (R + r) ), где ( l ) - образующая конуса. Подставляем данные и находим боковую поверхность.