Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите...

Для решения задачи о усеченном конусе начнем с определения его элементов. У нас есть следующие данные:

• Радиус большего основания $R=7$ см,
• Образующая $l=5$ см,
• Высота $h=4$ см.

1. Найдем радиус меньшего основания $r$. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом большего основания и образующей, можно найти радиус меньшего основания $r$: $l^2=h^2+(R-r{)}^2$ Подставим известные значения: $5^2=4^2+(7-r{)}^2$ $25=16+(7-r{)}^2$ $(7-r{)}^2=9$ $7-r=3\text{или}7-r=-3$ $r=4\text{или}r=10$ Так как $r$ не может быть больше $R$, то $r=4$ см.

2. Площадь осевого сечения. Осевое сечение усеченного конуса - это прямоугольник, высота которого равна высоте конуса $h$, а ширина - расстояние между параллельными основаниями, то есть длина образующей $l$. Площадь прямоугольника: $S_{\text{осевое}}=h\times l=4\times 5=20{\text{ см}}^2$

3. Площадь боковой поверхности. Формула боковой поверхности усеченного конуса: [ S{\text{бок}} = \pi $R+r$ l ] Подставим значения: [ S{\text{бок}} = \pi $7+4$ \times 5 = \pi \times 11 \times 5 = 55\pi \text{ см}^2 ] Это приблизительно равно $172.79{\text{ см}}^2$, если принять $\pi \approx 3.14159$.

Итак, площадь осевого сечения усеченного конуса составляет 20 см², а площадь его боковой поверхности около 172.79 см².

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус меньшего основания усеченного конуса. Обозначим его через $r$.

Используем подобие треугольников. Так как у нас есть два подобных треугольника - один внутри другого, то отношение радиусов оснований равно отношению высот конусов: $\frac{r}{7}=\frac{r+5}{4}$ Решив это уравнение, мы найдем, что $r=\frac{35}{9}$ см.

Теперь можем найти площадь осевого сечения конуса. Осевое сечение конуса представляет собой круг, площадь которого равна $\pi r^2$. Таким образом, площадь осевого сечения равна $\pi (\frac{35}{9}$^2 ) см².

Для нахождения боковой поверхности конуса воспользуемся формулой $S=\pi l(R+r$ ), где $l$ - образующая конуса. Подставляем данные и находим боковую поверхность.