При каком условии для неколлинеарных векторов a и и будут выполнено неравенство

Неравенство a * b ≠ 0 будет выполнено, если вектора a и b будут линейно независимыми, то есть не будут коллинеарными.

Для неколлинеарных векторов a и b неравенство |a + b| > |a| + |b| будет выполнено в случае, когда векторы a и b направлены в разные стороны относительно начала координат. Это условие означает, что векторы a и b не лежат на одной прямой и образуют острие угла. В этом случае их сумма будет иметь большую длину, чем сумма их длин по отдельности.

Конечно, давай разберем этот вопрос подробно.

Для неколлинеарных векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), необходимо понять, какое именно неравенство рассматривается. Предположим, что нам нужно рассмотреть неравенство, связанное с длинами векторов, их скалярным произведением или углом между ними. Одним из типичных примеров является неравенство треугольника для векторов:

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| ]

Для неколлинеарных векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) это неравенство всегда выполняется. Расширим наш ответ, объясняя детали.

Обоснование неравенства треугольника для векторов:

1. Длина вектора и норма: Длиной вектора (\mathbf{v}) называется скалярная величина, определяемая как (|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}), где (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) — скалярное произведение вектора (\mathbf{v}) на самого себя.

2. Скалярное произведение: Скалярное произведение двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) определяется как (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta), где (\theta) — угол между векторами.

3. Неравенство Коши-Буняковского: Это фундаментальное неравенство в линейной алгебре и анализе, которое утверждает, что для любых векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) выполняется следующее: [ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}||\mathbf{b}| ] Равенство достигается только тогда, когда (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) коллинеарны (лежат на одной прямой).

4. Вывод неравенства треугольника: Рассмотрим вектор (\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}). Его длина равна: [ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})} ] Раскроем скалярное произведение: [ (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ] Тогда: [ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2} ] Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем: [ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| + |\mathbf{b}|^2} ] Так как (2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2), получаем: [ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq \sqrt{(|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|)^2} = |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| ]

Заключение:

Для неколлинеарных векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) неравенство треугольника (|\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|) всегда выполняется. Это неравенство является следствием более общего неравенства Коши-Буняковского и отражает геометрическое свойство векторов в евклидовом пространстве.