Прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см вращается вокруг большого катета. Найти площадь поверхности...

Чтобы найти площадь поверхности и объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, давайте сначала представим, что происходит при этом вращении.

Описание тела вращения

Вращая прямоугольный треугольник вокруг большего катета, мы получаем конус. В данном случае:

• Больший катет, вокруг которого происходит вращение, является высотой конуса и равен 8 см.
• Меньший катет становится радиусом основания конуса и равен 6 см.

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса состоит из двух частей: площади боковой поверхности и площади основания.

1. Площадь основания (круг): [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{см}^2 ]

2. Боковая поверхность: Для нахождения площади боковой поверхности конуса нужно знать длину образующей (l). Образующая является гипотенузой треугольника с катетами 6 см и 8 см. Найдем ее по теореме Пифагора: [ l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} ]

   Площадь боковой поверхности (Sбок) вычисляется по формуле: [ S{\text{бок}} = \pi r l = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi \, \text{см}^2 ]

3. Полная поверхность конуса: [ S{\text{полная}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36\pi + 60\pi = 96\pi \, \text{см}^2 ]

Объем конуса

Объем конуса вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] где ( r = 6 \, \text{см} ) и ( h = 8 \, \text{см} ).

Подставим значения: [ V = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 8 = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8 = \frac{1}{3} \pi \times 288 = 96\pi \, \text{см}^3 ]

Ответ

Итак, при вращении прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 6 см вокруг большего катета, получаем конус с:

• Площадью полной поверхности ( 96\pi \, \text{см}^2 ),
• Объемом ( 96\pi \, \text{см}^3 ).

Для нахождения площади поверхности и объема тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 см вокруг большого катета, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 8^2 + 6^2 c^2 = 64 + 36 c^2 = 100 c = 10 см

2. Найдем площадь боковой поверхности тела вращения: S = 2πrl, где r - радиус, l - длина окружности r = c/2 = 10/2 = 5 см l = 2πr = 2π5 = 10π см S = 2π5*10π = 100π см^2

3. Найдем площадь основания тела вращения: S1 = 0.586 = 24 см^2

4. Найдем общую площадь поверхности тела вращения: S = S1 + S2 = 24 + 100π ≈ 354.13 см^2

5. Найдем объем тела вращения: V = S1h = 2410 = 240 см^3

Таким образом, площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 см вокруг большого катета составляет около 354.13 см^2, а объем тела - 240 см^3.

Площадь поверхности тела вращения равна 2πrh + πr^2, где r - радиус вращения (в данном случае равен 8 см), h - высота тела вращения (в данном случае равна 6 см). Объем тела вращения равен πr^2h/3.