Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 вращается вокруг гипотенузы. Найти объем тела вращения.

Объем тела вращения равен $\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot a^3$, где $a$ - длина гипотенузы, в данном случае $a=13$. Подставляем значение и получаем, что объем тела вращения равен $\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot {13}^3=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 2197=1098.5\pi$.

Для решения этой задачи нам нужно найти объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы. Итак, начнем с определения гипотенузы треугольника.

Треугольник имеет катеты $a=5$ и $b=12$. По теореме Пифагора гипотенуза $c$ находится следующим образом:

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$

Теперь, когда мы знаем, что гипотенуза равна 13, необходимо определить объем тела вращения. Для этого применим метод интегрирования, используя формулу для объема тела вращения вокруг прямой, не совпадающей с одной из осей координат.

Мы рассматриваем треугольник, вращающийся вокруг прямой, являющейся гипотенузой. Для этого удобно использовать формулу Гульдина $Центрамасс$:

Объем тела вращения $V$ равен произведению площади фигуры на длину пути, проходимого ее центром масс при вращении:

$V=A\cdot L,$

где $A$ — площадь треугольника, $L$ — длина окружности, по которой движется центр масс.

1. Определим площадь треугольника:

$A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30.$

1. Определим положение центра масс:

Для прямоугольного треугольника центр масс находится на пересечении медиан, и его координаты относительно катетов можно выразить как $(\frac{a}{3},\frac{b}{3}$). В нашем случае это $(\frac{5}{3},\frac{12}{3}$ = $\frac{5}{3},4$).

1. Определим длину пути $окружности$, по которому движется центр масс:

Сначала найдем расстояние от центра масс до гипотенузы. Гипотенуза описывается уравнением прямой, проходящей через точки $(0,0$) и $(5,12$). Уравнение прямой:

$y=\frac{12}{5}x.$

Расстояние от точки $(\frac{5}{3},4$) до прямой $y=\frac{12}{5}x$ находится по формуле расстояния от точки до прямой:

$d=\frac{|\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{3}-4|}{\sqrt{{\left(\frac{12}{5}\right)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{|4-4|}{\sqrt{\frac{144}{25}+1}}=0.$

Получается, что центр масс лежит на гипотенузе, поэтому его путь — это просто окружность радиуса 0, что делает объем тела равным 0.

Однако на самом деле из-за отсутствия учета корректного метода $интегралаилииспользованияформулдляобъемовтелвращенияпоболеесложнымтраекториям$ ситуация требует дополнительного анализа. Нужно использовать другой подход, в том числе метод интеграции вдоль траекторий или специализированные формулы для объемов тел вращения, таких как формула Стейнера, которая учитывает массу и положение центра масс в трехмерной системе.

Ответ: 0, так как центр масс находится на гипотенузе, но этот факт указывает на ошибку в выбранной методике и необходимости использования других методов для получения корректного объема.

Для нахождения объема тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 вокруг гипотенузы, необходимо использовать метод цилиндрических оболочек.

Сначала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2 гипотенуза^2 = 5^2 + 12^2 гипотенуза^2 = 25 + 144 гипотенуза^2 = 169 гипотенуза = √169 гипотенуза = 13

Теперь построим цилиндр радиусом 13 $длинагипотенузы$ и высотой равной периметру основания треугольника $5+12+13=30$.

Объем тела вращения можно найти по формуле: V = π r^2 h V = π 13^2 30 V = 5070π

Ответ: объем тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 вокруг гипотенузы равен 5070π.