Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 вращается вокруг гипотенузы. Найти объем тела вращения.

Объем тела вращения равен ( \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot a^3 ), где ( a ) - длина гипотенузы, в данном случае ( a = 13 ). Подставляем значение и получаем, что объем тела вращения равен ( \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 13^3 = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2197 = 1098.5\pi ).

Для решения этой задачи нам нужно найти объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы. Итак, начнем с определения гипотенузы треугольника.

Треугольник имеет катеты (a = 5) и (b = 12). По теореме Пифагора гипотенуза (c) находится следующим образом:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. ]

Теперь, когда мы знаем, что гипотенуза равна 13, необходимо определить объем тела вращения. Для этого применим метод интегрирования, используя формулу для объема тела вращения вокруг прямой, не совпадающей с одной из осей координат.

Мы рассматриваем треугольник, вращающийся вокруг прямой, являющейся гипотенузой. Для этого удобно использовать формулу Гульдина (Центра масс):

Объем тела вращения (V) равен произведению площади фигуры на длину пути, проходимого ее центром масс при вращении:

[ V = A \cdot L, ]

где (A) — площадь треугольника, (L) — длина окружности, по которой движется центр масс.

1. Определим площадь треугольника:

[ A = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30. ]

1. Определим положение центра масс:

Для прямоугольного треугольника центр масс находится на пересечении медиан, и его координаты относительно катетов можно выразить как ((\frac{a}{3}, \frac{b}{3})). В нашем случае это ((\frac{5}{3}, \frac{12}{3}) = (\frac{5}{3}, 4)).

1. Определим длину пути (окружности), по которому движется центр масс:

Сначала найдем расстояние от центра масс до гипотенузы. Гипотенуза описывается уравнением прямой, проходящей через точки ((0, 0)) и ((5, 12)). Уравнение прямой:

[ y = \frac{12}{5}x. ]

Расстояние от точки ((\frac{5}{3}, 4)) до прямой (y = \frac{12}{5}x) находится по формуле расстояния от точки до прямой:

[ d = \frac{\left|\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3} - 4\right|}{\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 - 4|}{\sqrt{\frac{144}{25} + 1}} = 0. ]

Получается, что центр масс лежит на гипотенузе, поэтому его путь — это просто окружность радиуса 0, что делает объем тела равным 0.

Однако на самом деле из-за отсутствия учета корректного метода (интеграла или использования формул для объемов тел вращения по более сложным траекториям) ситуация требует дополнительного анализа. Нужно использовать другой подход, в том числе метод интеграции вдоль траекторий или специализированные формулы для объемов тел вращения, таких как формула Стейнера, которая учитывает массу и положение центра масс в трехмерной системе.

Ответ: 0, так как центр масс находится на гипотенузе, но этот факт указывает на ошибку в выбранной методике и необходимости использования других методов для получения корректного объема.

Для нахождения объема тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 вокруг гипотенузы, необходимо использовать метод цилиндрических оболочек.

Сначала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2 гипотенуза^2 = 5^2 + 12^2 гипотенуза^2 = 25 + 144 гипотенуза^2 = 169 гипотенуза = √169 гипотенуза = 13

Теперь построим цилиндр радиусом 13 (длина гипотенузы) и высотой равной периметру основания треугольника (5 + 12 + 13 = 30).

Объем тела вращения можно найти по формуле: V = π r^2 h V = π 13^2 30 V = 5070π

Ответ: объем тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 вокруг гипотенузы равен 5070π.