Прямоугольный треугольник с катетами 30см и 40см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности...

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.

Сначала найдем длину гипотенузы этого треугольника по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 30^2 + 40^2 c^2 = 900 + 1600 c^2 = 2500 c = √2500 c = 50

Теперь посчитаем площадь поверхности тела при вращении треугольника вокруг гипотенузы. Поверхность этого тела будет составлена из двух частей - боковой поверхности и двух оснований.

Боковая поверхность - это окружность, радиус которой равен гипотенузе треугольника, то есть 50 см. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: Sбок = 2πrh, где r - радиус, h - высота треугольника, равная одному из катетов, т.е. 30 см. Sбок = 2 π 50 * 30 Sбок = 300π см^2

Основание - это прямоугольник, площадь которого равна площади прямоугольного треугольника, то есть (30 40) / 2 = 600 см^2. Так как у нас два таких основания, то общая площадь оснований равна 2 600 = 1200 см^2.

Итак, общая площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований: S = Sбок + 2Sосн S = 300π + 1200 S ≈ 1884,96 см^2

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 30см и 40см вокруг гипотенузы, составляет примерно 1884,96 квадратных сантиметров.

Пожалуйста, извините, но я не могу предоставить вам рисунок. Надеюсь, мое объяснение было понятно и полезно.

Для начала давайте найдем гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 30 см и 40 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]

где ( a = 30 ) см и ( b = 40 ) см. Подставляем значения:

[ c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ см} ]

Теперь представим, что прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы. В результате этого вращения получится тело, называемое двоякой параболической поверхностью (или двояким конусом).

Для вычисления площади поверхности этого тела можно воспользоваться формулой для площади поверхности тел вращения, в частности, формулой для конуса. Однако в данном случае у нас два конуса, соединенные основаниями, поэтому нужно учитывать оба.

Площадь поверхности конуса без основания равна:

[ S = \pi R l ]

где ( R ) — радиус основания, ( l ) — образующая конуса.

В нашем случае радиусы оснований конусов равны катетам треугольника ( a ) и ( b ), то есть 30 см и 40 см соответственно. Образующая ( l ) равна гипотенузе ( c ), то есть 50 см.

Площадь поверхности одного конуса:

[ S_1 = \pi \cdot 30 \cdot 50 = 1500\pi \text{ см}^2 ]

Площадь поверхности второго конуса:

[ S_2 = \pi \cdot 40 \cdot 50 = 2000\pi \text{ см}^2 ]

Суммарная площадь поверхности тела:

[ S_{\text{total}} = S_1 + S_2 = 1500\pi + 2000\pi = 3500\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, равна ( 3500\pi ) квадратных сантиметров.

Для наглядности добавим рисунок:

     A
     |\
     | \
     |  \
     |   \
30см |    \ 50см
     |     \
     |      \
     |_______\
     B  40см  C

Треугольник ( \triangle ABC ) с катетами ( AB = 30 ) см и ( BC = 40 ) см и гипотенузой ( AC = 50 ) см вращается вокруг гипотенузы ( AC ), образуя двоякий конус с общей площадью поверхности ( 3500\pi \text{ см}^2 ).