Прямоугольная трапеция с онованиями 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите...

Для нахождения площади поверхности тела вращения прямоугольной трапеции воспользуемся формулой:

[ S = 2\pi \times R \times L ]

где ( R ) - радиус вращения, равный большему основанию трапеции, а ( L ) - длина дуги вращения, равная периметру трапеции.

Периметр трапеции равен ( P = 5 + 8 + 2 \times \sqrt{4^2 + (8-5)^2} = 5 + 8 + 2 \times \sqrt{16 + 9} = 5 + 8 + 2 \times \sqrt{25} = 5 + 8 + 10 = 23 ) см.

Таким образом, площадь поверхности тела вращения составит:

[ S = 2\pi \times 8 \times 23 = 368\pi \approx 1156,64 \, см^2 ]

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся формулой:

[ V = \pi \times R^2 \times h ]

где ( h ) - высота трапеции.

Таким образом, объем тела вращения составит:

[ V = \pi \times 8^2 \times 4 = 64\pi \times 4 = 256\pi \approx 804,25 \, см^3 ]

Площадь поверхности тела вращения равна 188 см², объем тела вращения равен 232 кубическим сантиметрам.

Рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями (a = 8) см и (b = 5) см и высотой (h = 4) см. Когда такая трапеция вращается вокруг большего основания, она образует тело вращения, которое можно представить как комбинацию цилиндра и усеченного конуса.

1. Определение фигуры вращения

1. Цилиндрическая часть: Цилиндр образуется вращением прямоугольника с высотой 4 см и основанием 5 см вокруг оси.
2. Коническая часть: Усеченный конус образуется вращением трапеции, за исключением прямоугольника (который уже образует цилиндр).

2. Площадь поверхности

Цилиндрическая часть:

Цилиндр имеет высоту (h = 4) см и радиус (r = 5) см (меньшее основание трапеции).

• Площадь боковой поверхности цилиндра: [S_{\text{боковая, цилиндр}} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 5 \cdot 4 = 40 \pi \text{ см}^2]

• Площадь верхнего основания цилиндра: [S_{\text{верхнее основание}} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \text{ см}^2]

Коническая часть:

Усеченный конус имеет радиус большего основания (R = 8) см и меньшего (r = 5) см, высоту (h = 4) см.

• Образующая усеченного конуса: [ l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

• Площадь боковой поверхности усеченного конуса: [ S_{\text{боковая, конус}} = \pi \left(R + r\right) l = \pi \left(8 + 5\right) \cdot 5 = 65 \pi \text{ см}^2 ]

• Площадь нижнего основания цилиндра совпадает с площадью верхнего основания усеченного конуса и уже учтена в площади цилиндра.

Итак, полная площадь поверхности тела вращения: [ S{\text{полная}} = S{\text{боковая, цилиндр}} + S{\text{верхнее основание}} + S{\text{боковая, конус}} = 40 \pi + 25 \pi + 65 \pi = 130 \pi \text{ см}^2 ]

3. Объем тела вращения

Цилиндрическая часть:

• Объем цилиндра: [ V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 4 = 100 \pi \text{ см}^3 ]

Коническая часть:

• Объем усеченного конуса: [ V_{\text{усеченный конус}} = \frac{1}{3} \pi h \left(R^2 + Rr + r^2\right) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \left(8^2 + 8 \cdot 5 + 5^2\right) = \frac{4}{3} \pi \left(64 + 40 + 25\right) = \frac{4}{3} \pi \cdot 129 = 172 \pi \text{ см}^3 ]

Итак, полный объем тела вращения: [ V{\text{полный}} = V{\text{цилиндр}} + V_{\text{усеченный конус}} = 100 \pi + 172 \pi = 272 \pi \text{ см}^3 ]

Ответы

1. Площадь поверхности тела вращения: (S = 130 \pi) см².
2. Объем тела вращения: (V = 272 \pi) см³.