Прямая,параллельная стороне треугольника,делит его на две равновеликие части.В каком отношении эта прямая...

Эта прямая делит другие стороны треугольника в том же отношении, в котором она делит сторону, на которую параллельна.

Чтобы понять, в каком отношении прямая, параллельная одной из сторон треугольника и делящая его на две равновеликие части, делит другие две стороны треугольника, рассмотрим следующий анализ.

Предположим, у нас есть треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Пусть прямая $DE$ параллельна стороне $BC$ и делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части. Это значит, что площади треугольников $ADE$ и $DEC$ равны.

Заметим, что треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны, так как у них совпадают углы:

• $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$,
• $\mathrm{\angle }ADE=\mathrm{\angle }ABC$,
• $\mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }ACB$.

Пусть $AD=x$, $DB=y$, $AE=z$, и $EC=w$. Так как треугольники подобны, стороны треугольников $ADE$ и $ABC$ пропорциональны. То есть:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

Пусть отношение сторон $AD$ к $AB$ и $AE$ к $AC$ равно $k$, то есть:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=k$

Так как прямая $DE$ делит треугольник на две равные по площади части, отношение площадей треугольников $ADE$ и $ABC$ равно $\frac{1}{2}$:

$\frac{\text{area}(ADE)}{\text{area}(ABC)}=\frac{1}{2}$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Таким образом:

${\left(\frac{AD}{AB}\right)}^2={\left(\frac{AE}{AC}\right)}^2={\left(\frac{DE}{BC}\right)}^2=\frac{1}{2}$

Это значит:

$k^2=\frac{1}{2}$

Следовательно:

$k=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, $AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$ и $AE=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$.

Теперь посмотрим, в каком отношении прямая $DE$ делит стороны $AB$ и $AC$. Если $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\frac{AD}{DB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{(1-\frac{\sqrt{2}}{2})AB}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Упростим это выражение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное $2+\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1$

То же самое отношение будет и для стороны $AC$:

$\frac{AE}{EC}=\sqrt{2}+1$

Следовательно, прямая, параллельная стороне треугольника и делящая его на две равновеликие части, делит другие две стороны треугольника в отношении $\sqrt{2}+1$.

Если прямая параллельна одной из сторон треугольника и делит его на две равновеликие части, то она также делит другие две стороны треугольника в пропорции 1:2. Другими словами, отношение длины каждой из двух частей, на которые делится сторона треугольника этой прямой, к длине целой стороны будет 1:2. Таким образом, прямая делит две другие стороны треугольника в отношении 1:2.