Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причем ME = KE.Доказать, что четырехугольник BKDM-параллелограмм
Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причем ME = KE.Доказать, что четырехугольник BKDM-параллелограмм
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник BKDM является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны.
Параллельность противоположных сторон: Поскольку ABCD является параллелограммом, AB параллельна CD и AD параллельна BC. Поскольку прямая MK пересекает стороны AB и CD, она также должна быть параллельна AD и BC (по свойствам транзитивности параллельности в параллелограмме). Следовательно, MK параллельна сторонам AD и BC.
Равенство противоположных сторон: По условию задачи ME = KE. То есть, точка E делит диагональ BD на две равные части. Так как в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, точка E является серединой BD. Это означает, что BE = ED.
Поскольку MK пересекает BD в точке E, а ME = KE, отрезки ME и KE равны. Таким образом, MK = 2ME = 2KE.
Параллельность и равенство DM и BK: Рассмотрим треугольники ΔBEM и ΔKED. Они равны по трём сторонам: BE = ED (так как E — середина BD), ME = KE (по условию задачи), а сторона EM общая для обоих треугольников. Следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Это означает, что ∠BEM = ∠KED и ∠EBM = ∠EKD.
Так как ∠BEM = ∠KED, сторона BM параллельна стороне KD (как соответственные углы при параллельных прямых и секущей BD). Также из равенства углов и равенства треугольников следует, что BM = KD.
Заключение: Мы показали, что в четырёхугольнике BKDM противоположные стороны BK и DM, а также KD и BM попарно параллельны и равны. Следовательно, BKDM является параллелограммом.
Для доказательства того, что четырехугольник BKDM является параллелограммом, рассмотрим треугольники BME и KME.
Поскольку ME = KE и угол E равен углу E (по построению), треугольники BME и KME равны по стороне ME и двум углам. Следовательно, стороны BM и KM также равны.
Таким образом, мы имеем, что BM = KM и ME = KE. Из этого следует, что четырехугольник BKDM - это параллелограмм, так как противоположные стороны равны и параллельны.
Таким образом, четырехугольник BKDM действительно является параллелограммом.
Доказательство:
Пусть F - точка пересечения прямой BK и диагонали AC. Так как BK || AC, то по свойству параллельных прямых угол BFK = угол BAC и угол BKF = угол BCA. Также угол BAC = угол BDC (диагонали параллелограмма), следовательно, угол BFK = угол BDC. Так как ME = KE, то угол BME = угол BKE = угол BKF = угол BDC. Таким образом, углы BME и BDC равны, следовательно, BM || DC. Аналогично доказывается, что DM || AC. Таким образом, четырехугольник BKDM - параллелограмм.
