Прямая KC перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Найдите KB, если KA=√34 см, AC=3√2 см. Только с чертежом.

Изначально нарисуем квадрат ABCD и прямую KC перпендикулярно плоскости квадрата.

  B--------C
  |        |
  |        |
  |        |
  A--------D
           |
           K

Так как KC перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то она перпендикулярна и к стороне AD. Пусть точка M - середина стороны AD. Тогда треугольник KMA - прямоугольный.

Так как KA = √34 см, AC = 3√2 см и треугольник KMA прямоугольный, то можем воспользоваться теоремой Пифагора: KM^2 + MA^2 = KA^2 KM^2 + (AC/2)^2 = KA^2 KM^2 + (3√2/2)^2 = √34^2 KM^2 + 9/2 = 34 KM^2 = 34 - 9/2 KM^2 = 59/2 KM = √(59/2)

Так как KB = 2 KM, то KB = 2 √(59/2) KB = √(236)

Итак, KB = √236 см.

К сожалению, я не могу предоставить чертеж, но я могу объяснить, как найти длину отрезка ( KB ) с помощью математических методов.

Давайте рассмотрим трехмерное расположение квадрата ( ABCD ) и прямой ( KC ), перпендикулярной плоскости квадрата:

1. Координаты точек:

   • Пусть квадрат ( ABCD ) лежит в плоскости ( xy ) с центром в начале координат. Тогда координаты вершин можно взять как:
     • ( A( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0 ) )
     • ( B( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0 ) )
     • ( C( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 ) )
     • ( D( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 ) )
   • Координаты точки ( K ) — это ( K( x, y, z ) ), но известно, что ( KC ) перпендикулярно плоскости квадрата, а значит, ( x = \frac{a}{2} ) и ( y = \frac{a}{2} ).

2. Длина диагонали квадрата:

   • Диагональ ( AC ) квадрата равна ( 3\sqrt{2} ) см.
   • Диагональ квадрата также равна ( a\sqrt{2} ). Отсюда: [ a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \implies a = 3 \text{ см} ]

3. Расстояние ( KA ):

   • Координаты ( A = (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, 0 ) )
   • Координаты ( K = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, z ) )
   • Расстояние ( KA ): [ KA = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \right)^2 + z^2 } = \sqrt{ 3^2 + 3^2 + z^2 } = \sqrt{ 18 + z^2 } ]
   • Дано, что ( KA = \sqrt{34} ): [ \sqrt{18 + z^2} = \sqrt{34} \implies 18 + z^2 = 34 \implies z^2 = 16 \implies z = 4 \text{ см} \text{ (или } z = -4 \text{ см, но расстояние положительно)} ]

4. Расстояние ( KB ):

   • Координаты ( B = (\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, 0 ) )
   • Расстояние ( KB ): [ KB = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \right)^2 + 4^2 } = \sqrt{ 0 + 3^2 + 16 } = \sqrt{ 9 + 16 } = \sqrt{ 25 } = 5 \text{ см} ]

Таким образом, длина ( KB ) равна ( 5 ) см.