Постройте график функции y=x^2+2x-8 и укажите по графику: а)Промежуток ,где функция убывает б)Наименьшее...

Для построения графика функции y=x^2+2x-8 сначала находим вершину параболы. Для этого используем формулу x = -b/2a, где a=1, b=2.

x = -2/$2\ast 1$ = -1

Теперь вычислим y для этой точки:

y = $-1$^2 + 2*$-1$ - 8 = 1 - 2 - 8 = -9

Таким образом, вершина параболы находится в точке $-1,-9$. Теперь построим график:

$График$

а) Промежуток, где функция убывает: функция убывает на интервале $-бесконечность,-1$

б) Наименьшее значение функции: наименьшее значение функции равно -9, которое достигается в точке $-1,-9$.

а) Функция убывает на промежутке $-\infty ,-1$

б) Наименьшее значение функции равно -12 $y=-12$

Для начала рассмотрим функцию $y=x^2+2x-8$. Это квадратичная функция, которая представляет собой параболу, открывающуюся вверх $посколькукоэффициентпри(x^2$ положительный).

1. Построение графика функции:

   Для построения графика функции $y=x^2+2x-8$, найдем вершину параболы и точки пересечения с осью $y$ и $x$.

   • Вершина параболы:

     Вершина параболы $y=a{x}^2+bx+c$ находится в точке $x=-\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

     $x_{\text{вершины}}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1$

     Подставим $x=-1$ в уравнение функции, чтобы найти координату $y$ вершины:

     $y_{\text{вершины}}=(-1{)}^2+2(-1)-8=1-2-8=-9$

     Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1,-9$ ).

   • Точки пересечения с осью $y$:

     Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x=0$:

     $y=0^2+2\cdot 0-8=-8$

     Значит, парабола пересекает ось $y$ в точке $(0,-8$ ).

   • Точки пересечения с осью $x$:

     Для нахождения точек пересечения с осью $x$, решим уравнение $x^2+2x-8=0$. Это квадратное уравнение решаем с помощью дискриминанта $D$:

     $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36$

     Корни уравнения:

     $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$

     $x_1=\frac{-2+6}{2}=2,x_2=\frac{-2-6}{2}=-4$

     Таким образом, парабола пересекает ось $x$ в точках $(2,0$ ) и $(-4,0$ ).

2. График функции:

   Теперь можно построить график функции, используя найденные точки: вершина $(-1,-9$ ), пересечение с осью $y$ в точке $(0,-8$ ) и пересечения с осью $x$ в точках $(2,0$ ) и $(-4,0$ ).

3. Ответы на вопросы:

   а) Промежуток, где функция убывает:

   Функция убывает на интервале от минус бесконечности до вершины параболы. Так как вершина находится в точке $x=-1$:

   $(-\mathrm{\infty },-1)$

   б) Наименьшее значение функции:

   Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Мы уже нашли, что вершина находится в точке $(-1,-9$ ). Таким образом, наименьшее значение функции:

   $y_{\text{min}}=-9$

Итак, график функции $y=x^2+2x-8$ показывает, что функция убывает на интервале $(-\mathrm{\infty },-1$ ) и имеет наименьшее значение $-9$ в точке $x=-1$.