Постройте график функции y=x^2+2x-8 и укажите по графику: а)Промежуток ,где функция убывает б)Наименьшее...

Для построения графика функции y=x^2+2x-8 сначала находим вершину параболы. Для этого используем формулу x = -b/2a, где a=1, b=2.

x = -2/(2*1) = -1

Теперь вычислим y для этой точки:

y = (-1)^2 + 2*(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, -9). Теперь построим график:

[График]

а) Промежуток, где функция убывает: функция убывает на интервале (-бесконечность, -1)

б) Наименьшее значение функции: наименьшее значение функции равно -9, которое достигается в точке (-1, -9).

а) Функция убывает на промежутке (-∞, -1)

б) Наименьшее значение функции равно -12 (y = -12)

Для начала рассмотрим функцию ( y = x^2 + 2x - 8 ). Это квадратичная функция, которая представляет собой параболу, открывающуюся вверх (поскольку коэффициент при ( x^2 ) положительный).

1. Построение графика функции:

   Для построения графика функции ( y = x^2 + 2x - 8 ), найдем вершину параболы и точки пересечения с осью ( y ) и ( x ).

   • Вершина параболы:

     Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -8 ).

     [ x_{\text{вершины}} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ]

     Подставим ( x = -1 ) в уравнение функции, чтобы найти координату ( y ) вершины:

     [ y_{\text{вершины}} = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 ]

     Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (-1, -9) ).

   • Точки пересечения с осью ( y ):

     Для нахождения точки пересечения с осью ( y ), подставим ( x = 0 ):

     [ y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8 ]

     Значит, парабола пересекает ось ( y ) в точке ( (0, -8) ).

   • Точки пересечения с осью ( x ):

     Для нахождения точек пересечения с осью ( x ), решим уравнение ( x^2 + 2x - 8 = 0 ). Это квадратное уравнение решаем с помощью дискриминанта ( D ):

     [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ]

     Корни уравнения:

     [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} ]

     [ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 ]

     Таким образом, парабола пересекает ось ( x ) в точках ( (2, 0) ) и ( (-4, 0) ).

2. График функции:

   Теперь можно построить график функции, используя найденные точки: вершина ( (-1, -9) ), пересечение с осью ( y ) в точке ( (0, -8) ) и пересечения с осью ( x ) в точках ( (2, 0) ) и ( (-4, 0) ).

3. Ответы на вопросы:

   а) Промежуток, где функция убывает:

   Функция убывает на интервале от минус бесконечности до вершины параболы. Так как вершина находится в точке ( x = -1 ):

   [ (-\infty, -1) ]

   б) Наименьшее значение функции:

   Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Мы уже нашли, что вершина находится в точке ( (-1, -9) ). Таким образом, наименьшее значение функции:

   [ y_{\text{min}} = -9 ]

Итак, график функции ( y = x^2 + 2x - 8 ) показывает, что функция убывает на интервале ( (-\infty, -1) ) и имеет наименьшее значение ( -9 ) в точке ( x = -1 ).