Последовательно соединены отрезками середины сторон четырехугольника. Докажите, что полученная фигура...

Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны этой фигуры параллельны и равны по длине. В данном случае, соединив середины сторон четырехугольника отрезками, мы получаем параллелограмм, так как каждая сторона параллельна и равна по длине соответствующей ей стороне.

Давайте рассмотрим четырехугольник (ABCD) и обозначим середины его сторон как (M), (N), (P) и (Q), где (M) — середина (AB), (N) — середина (BC), (P) — середина (CD), а (Q) — середина (DA). Нам необходимо доказать, что четырехугольник (MNPQ) является параллелограммом.

Доказательство:

1. Свойства средних линий: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

2. Рассмотрим треугольники:

   • В треугольнике ( \triangle ABC ), отрезок ( MN ) является средней линией. Следовательно, ( MN \parallel AC ) и ( MN = \frac{1}{2}AC ).
   • В треугольнике ( \triangle ACD ), отрезок ( PQ ) является средней линией. Следовательно, ( PQ \parallel AC ) и ( PQ = \frac{1}{2}AC ).

3. Параллельность и равенство: Из вышеизложенного следует, что ( MN \parallel PQ ) и ( MN = PQ ). Это означает, что противоположные стороны четырехугольника ( MNPQ ) равны и параллельны.

4. Аналогично:

   • В треугольнике ( \triangle BCD ), отрезок ( NP ) является средней линией. Следовательно, ( NP \parallel BD ) и ( NP = \frac{1}{2}BD ).
   • В треугольнике ( \triangle ABD ), отрезок ( MQ ) является средней линией. Следовательно, ( MQ \parallel BD ) и ( MQ = \frac{1}{2}BD ).

5. Вывод: Таким образом, ( NP \parallel MQ ) и ( NP = MQ ), что значит, что и эти пары противоположных сторон четырехугольника ( MNPQ ) равны и параллельны.

Поскольку противоположные стороны четырехугольника ( MNPQ ) равны и параллельны, по определению, ( MNPQ ) является параллелограммом.

Это завершает доказательство.

Для доказательства того, что полученная фигура является параллелограммом, докажем, что противоположные стороны этой фигуры параллельны и равны между собой.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, а также точки M, N, P, Q - середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. Докажем, что MQ || NP: Мы знаем, что середины отрезков MQ и NP соответственно равноудалены от сторон AD и BC четырехугольника ABCD, так как MQ и NP являются серединами сторон CD и AB. Из этого следует, что MQ || NP.

2. Докажем, что MP || NQ: Аналогично предыдущему пункту, середины отрезков MP и NQ равноудалены от сторон AB и CD четырехугольника ABCD, следовательно, MP || NQ.

Таким образом, мы доказали, что полученная фигура, соединяющая середины сторон четырехугольника отрезками, является параллелограммом, так как противоположные стороны данной фигуры параллельны и равны между собой.