Помогите с решением. Самостоятельная работа по геометрии по теме "Простейшие задачи в координатах"
Дано А(-12;-4) , B(-5;6), С(0;3)
Найти: а) координаты вектора BC
б) длину вектора AB
в) координаты середины отрезка АС
г) периметр треугольника ABC
д) длину медианы BM
а) Вектор BC = (0 - (-5); 3 - 6) = (5; -3)
б) Длина вектора AB = √[(5 - (-12))^2 + (6 - (-4))^2] = √[17^2 + 10^2] = √(289 + 100) = √389
в) Координаты середины отрезка АС = ((-12 + 0)/2; (-4 + 3)/2) = (-6; -0.5)
г) Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = √389 + √(5^2 + (-3)^2) + √[(0 - (-12))^2 + (3 - (-4))^2]
д) Длина медианы BM = 0.5 √[(5 - (-12))^2 + (3 - (-4))^2] = 0.5 √(17^2 + 7^2) = 0.5 √(289 + 49) = 0.5 √338
Давайте разберемся с каждым из пунктов задачи по очереди.
а) Координаты вектора BC
Координаты вектора ( BC ) находятся по формуле: [ \vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) ]
Подставим известные координаты точек B(-5, 6) и C(0, 3): [ \vec{BC} = (0 - (-5), 3 - 6) = (5, -3) ]
б) Длина вектора AB
Длина вектора (или отрезка) AB находится по формуле расстояния между двумя точками: [ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} ]
Подставим координаты точек A(-12, -4) и B(-5, 6): [ AB = \sqrt{(-5 - (-12))^2 + (6 - (-4))^2} ] [ AB = \sqrt{(7)^2 + (10)^2} ] [ AB = \sqrt{49 + 100} ] [ AB = \sqrt{149} ]
в) Координаты середины отрезка AC
Координаты середины отрезка AC найдём по формуле: [ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) ]
Подставим координаты точек A(-12, -4) и C(0, 3): [ M = \left( \frac{-12 + 0}{2}, \frac{-4 + 3}{2} \right) ] [ M = \left( \frac{-12}{2}, \frac{-1}{2} \right) ] [ M = (-6, -0.5) ]
г) Периметр треугольника ABC
Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон AB, BC и CA. Мы уже нашли длину AB, теперь найдем длины BC и CA.
Длина BC: [ BC = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (3 - 6)^2} ] [ BC = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2} ] [ BC = \sqrt{25 + 9} ] [ BC = \sqrt{34} ]
Длина CA: [ CA = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (3 - (-4))^2} ] [ CA = \sqrt{(12)^2 + (7)^2} ] [ CA = \sqrt{144 + 49} ] [ CA = \sqrt{193} ]
Периметр ( P ) треугольника ABC: [ P = AB + BC + CA ] [ P = \sqrt{149} + \sqrt{34} + \sqrt{193} ]
д) Длина медианы BM
Медиана BM — это отрезок, соединяющий вершину B с серединой противоположной стороны AC. Мы уже нашли координаты середины AC: ( M(-6, -0.5) ).
Теперь найдём длину медианы BM: [ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} ] [ BM = \sqrt{(-6 - (-5))^2 + (-0.5 - 6)^2} ] [ BM = \sqrt{(-1)^2 + (-6.5)^2} ] [ BM = \sqrt{1 + 42.25} ] [ BM = \sqrt{43.25} ]
Таким образом, вы получили координаты вектора BC, длину вектора AB, координаты середины отрезка AC, периметр треугольника ABC и длину медианы BM.
а) Координаты вектора BC можно найти, вычтя из координат точки C координаты точки B: BC = (0 - (-5); 3 - 6) = (5; -3)
б) Длину вектора AB можно найти по формуле длины вектора: ||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-5 + 12)^2 + (6 + 4)^2) = √(7^2 + 10^2) = √(49 + 100) = √149
в) Координаты середины отрезка AC можно найти, взяв среднее арифметическое от координат точек A и C: Середина AC = ((-12 + 0)/2; (-4 + 3)/2) = (-6; -0.5)
г) Для нахождения периметра треугольника ABC нужно вычислить сумму длин его сторон: Периметр ABC = AB + BC + AC = √149 + √(5^2 + 3^2) + √((-12)^2 + (-4)^2)
д) Длину медианы BM можно найти, используя формулу для длины вектора, где B - вершина треугольника, M - середина противолежащей стороны: BM = 1/2 √((x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2) = 1/2 √((-12 - 0)^2 + (-4 + 3)^2)
