Помогите пожалуйста решить В треугольнике ABC BM-медиана, A(-1;2;2), B(2;-2;-6), M(1;1;-1)
- Найдите координаты точки С 2.Найдите длину стороны ВС 3.Разложите вектор ВС по векторам i,j,k
Помогите пожалуйста решить В треугольнике ABC BM-медиана, A(-1;2;2), B(2;-2;-6), M(1;1;-1)
Для решения задачи воспользуемся свойствами медианы и основными методами векторной алгебры.
Найдем координаты точки C.
Медиана BM делит сторону AC на две равные части. Это значит, что точка M является средней точкой отрезка AC. Координаты точки M равны средним арифметическим соответствующих координат точек A и C. Пусть координаты точки C равны ( (x, y, z) ).
[ M_x = \frac{A_x + C_x}{2}, \quad M_y = \frac{A_y + C_y}{2}, \quad M_z = \frac{A_z + C_z}{2} ]
Подставляя известные значения, получаем:
[ 1 = \frac{-1 + x}{2} \quad \Rightarrow \quad -1 + x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]
[ 1 = \frac{2 + y}{2} \quad \Rightarrow \quad 2 + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 0 ]
[ -1 = \frac{2 + z}{2} \quad \Rightarrow \quad 2 + z = -2 \quad \Rightarrow \quad z = -4 ]
Таким образом, координаты точки C: ( C(3, 0, -4) ).
Найдем длину стороны BC.
Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
[ BC = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2 + (z_B - z_C)^2} ]
Подставляя координаты точек B(2, -2, -6) и C(3, 0, -4), получаем:
[ BC = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-2 - 0)^2 + (-6 + 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} ]
[ BC = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 ]
Разложим вектор BC по векторам i, j, k.
Вектор BC определяется как разность координат точек C и B:
[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) ]
Подставляем координаты:
[ \overrightarrow{BC} = (3 - 2, 0 + 2, -4 + 6) = (1, 2, 2) ]
Разложение вектора (\overrightarrow{BC}) по базисным векторам i, j, k имеет вид:
[ \overrightarrow{BC} = 1 \cdot \mathbf{i} + 2 \cdot \mathbf{j} + 2 \cdot \mathbf{k} ]
Таким образом, мы нашли координаты точки C, длину стороны BC и разложили вектор BC по базисным векторам i, j, k.
Для нахождения координат точки C воспользуемся свойством медианы треугольника, которое гласит, что медиана делит сторону треугольника в отношении 2:1. Таким образом, координаты точки C равны (x,y,z), где x = 21 - 1 = 1, y = 21 + 1 = 3, z = 2*1 - 1 = 1. Таким образом, точка C имеет координаты (1, 3, 1).
Для нахождения длины стороны BC воспользуемся формулой длины вектора: |BC| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) - координаты точки B, (x2, y2, z2) - координаты точки C. Подставляя значения, получим |BC| = √((1 - 2)^2 + (3 + 2)^2 + (1 + 6)^2) = √((-1)^2 + 5^2 + 7^2) = √(1 + 25 + 49) = √75 = 5√3. Таким образом, длина стороны ВС равна 5√3.
Для разложения вектора BC по осям i, j, k найдем разность координат точек B и C: BC = (1 - 2)i + (3 + 2)j + (1 + 6)k = -i + 5j + 7k. Таким образом, вектор BC можно разложить по осям i, j, k следующим образом: BC = -i + 5j + 7k.
