Полукруг вращается вокруг диаметра, равного 12 см. Определите объем полученного тела вращения.

Для решения задачи определим, какое тело получается при вращении полукруга вокруг его диаметра. Полукруг, вращаясь вокруг своего диаметра, образует сферу.

Дано:

• Диаметр полукруга равен (12 \, \text{см}).
• Радиус полукруга (и, соответственно, радиус сферы) равен половине диаметра: [ R = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}. ]

Формула объема сферы:

Объем сферы (V) вычисляется по формуле: [ V = \frac{4}{3} \pi R^3, ] где (R) — радиус сферы.

Подставим известные значения:

[ V = \frac{4}{3} \pi (6)^3. ]

1. Вычислим куб радиуса: [ 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216. ]

2. Подставим значение: [ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216. ]

3. Упростим: [ V = \frac{4 \cdot 216}{3} \pi = 288 \pi. ]

Ответ:

Объем тела вращения (сферы) равен: [ V = 288 \pi \, \text{см}^3, ] или, если подставить приближенное значение (\pi \approx 3.14): [ V \approx 288 \cdot 3.14 = 904.32 \, \text{см}^3. ]

Таким образом, объем полученного тела вращения составляет (288 \pi \, \text{см}^3) или примерно (904.32 \, \text{см}^3).

Для определения объема тела вращения, полученного при вращении полукруга вокруг его диаметра, можно использовать формулу объема, которая основана на принципе интегрирования. Однако, в данном случае проще использовать известные формулы для объемов тел вращения.

Полукруг, имеющий диаметр 12 см, имеет радиус:

[ r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}. ]

Когда полукруг вращается вокруг своего диаметра, он образует сферу. Объем сферы рассчитывается по формуле:

[ V = \frac{4}{3} \pi r^3, ]

где ( V ) — объем сферы, ( r ) — радиус сферы.

Подставим радиус ( r = 6 ) см в формулу:

[ V = \frac{4}{3} \pi (6)^3. ]

Сначала вычислим ( (6)^3 ):

[ (6)^3 = 216. ]

Теперь подставим это значение в формулу объема:

[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216. ]

Упростим:

[ V = \frac{864}{3} \pi = 288 \pi \text{ см}^3. ]

Таким образом, объем тела вращения, полученного при вращении полукруга вокруг диаметра, равного 12 см, составляет:

[ V \approx 288 \cdot 3.14 \approx 904.32 \text{ см}^3. ]

Итак, окончательный ответ: объем полученного тела вращения равен ( 288 \pi \text{ см}^3 ) или приблизительно ( 904.32 \text{ см}^3 ).

Объем полученного тела вращения (полуцилиндра) можно найти по формуле:

[ V = \frac{1}{2} \pi r^2 h, ]

где ( r ) — радиус полукруга, а ( h ) — высота, равная диаметру.

Диаметр равен 12 см, следовательно, радиус ( r = \frac{12}{2} = 6 ) см. Высота ( h = 12 ) см.

Подставим значения в формулу:

[ V = \frac{1}{2} \pi (6^2) (12) = \frac{1}{2} \pi (36) (12) = \frac{1}{2} \pi (432) = 216\pi \, \text{см}^3. ]

Таким образом, объем тела вращения составляет ( 216\pi ) см³, что приблизительно равно 678,58 см³.