Плоскость Альфа проходит через основание АД трапеции АВСД. Точки Е и Ф середины отрезков АВ и СД соответсвенно....

Так как точки E и F являются серединами отрезков АВ и СД, то отрезок EF параллелен отрезку АD и равен ему наполовину. Поскольку плоскость Альфа проходит через основание AD трапеции ABCD, то отрезок EF также параллелен этой плоскости. Таким образом, EF параллелен плоскости Альфа.

Для доказательства того, что отрезок (EF) параллелен плоскости (\alpha), проходящей через основание (AD) трапеции (ABCD), рассмотрим следующие шаги:

1. Пусть (ABCD) — трапеция, в которой (AD) и (BC) — основания.

2. Определим точки (E) и (F) как середины отрезков (AB) и (CD) соответственно.

3. По условию, плоскость (\alpha) проходит через основание (AD).

4. Рассмотрим свойства трапеции и ее среднюю линию.

   • В трапеции средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
   • В данном случае, отрезок (EF) соединяет середины боковых сторон (AB) и (CD).

5. Используем свойства средней линии трапеции:

   • Точки (E) и (F) — середины отрезков (AB) и (CD) соответственно.
   • Следовательно, отрезок (EF) является средней линией трапеции (ABCD).
   • По теореме о средней линии трапеции, (EF) параллелен основаниям (AD) и (BC).

6. Так как плоскость (\alpha) проходит через основание (AD), то (AD \subset \alpha).

7. Из свойства параллельности:

   • Если прямая параллельна одной из двух параллельных прямых, то она параллельна и второй.
   • Поскольку (EF) параллелен (AD), а (AD) лежит в плоскости (\alpha), то отрезок (EF) также параллелен плоскости (\alpha).

Итак, (EF) действительно параллелен плоскости (\alpha), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы использовали свойства средней линии трапеции и свойства параллельности для доказательства того, что (EF) параллелен плоскости (\alpha).

Для доказательства того, что отрезок EF параллелен плоскости Альфа, можно воспользоваться свойствами параллельных прямых и треугольников.

Итак, пусть точка M - середина отрезка EF. Тогда, по свойству треугольника, отрезок AM параллелен отрезку ED и равен ему, так как М - середина. Также, отрезок BM параллелен отрезку EF и равен ему.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDF. По условию, точки E и F - середины отрезков AB и CD соответственно, значит, EF параллелен отрезку AD и равен ему.

Таким образом, в треугольниках ABE и CDF мы имеем параллельные стороны AB и CD, равные стороны EF, и сторону AE, равную стороне CF. По свойству треугольников, данные условия означают, что треугольники ABE и CDF равны, а значит, углы A и C равны.

Из равенства углов A и C следует, что прямые, проходящие через точки A и C и параллельные плоскости Альфа, будут параллельны между собой. Таким образом, отрезок EF параллелен плоскости Альфа.