Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 18 корней из 3 делить на 3 Один из ост­рых углов равен...

Для нахождения длины катета, лежащего напротив угла в 60° в прямоугольном треугольнике, где площадь равна 18√3/3, нужно воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника: S = 1/2 a b, где a и b - длины катетов треугольника.

Так как один из острых углов равен 60°, то мы имеем дело с 30-60-90 треугольником. В таком треугольнике соотношение сторон равно 1:√3:2. То есть, длина катета, лежащего напротив угла в 60°, равна √3 раз длине катета, лежащего напротив угла в 30°.

Из формулы для площади прямоугольного треугольника и соотношения сторон в 30-60-90 треугольнике мы можем составить уравнение: 1/2 x (x√3) = 18√3/3, 1/2 * x^2√3 = 18√3/3, x^2 = 36, x = 6.

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла в 60°, равна 6.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и формулой площади.

Дан прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен (60^\circ). Пусть катеты этого треугольника будут (a) и (b), где (a) — катет, лежащий напротив угла (60^\circ), а (b) — катет, лежащий напротив угла (30^\circ).

Площадь треугольника (S) равна:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]

По условию, площадь равна (18 \sqrt{3} / 3). Преобразуем это выражение:

[ S = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6 \sqrt{3} ]

Подставим это значение в формулу площади:

[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 6 \sqrt{3} ]

[ a \cdot b = 12 \sqrt{3} ]

Теперь, воспользуемся свойствами треугольника с углами (30^\circ), (60^\circ) и (90^\circ). В таком треугольнике отношение длин катетов равно (\sqrt{3}), то есть (a = \sqrt{3} \cdot b).

Подставим это выражение в уравнение для площади:

[ (\sqrt{3} \cdot b) \cdot b = 12 \sqrt{3} ]

[ \sqrt{3} \cdot b^2 = 12 \sqrt{3} ]

Разделим обе части уравнения на (\sqrt{3}):

[ b^2 = 12 ]

[ b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

Теперь найдем (a):

[ a = \sqrt{3} \cdot b = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 ]

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла (60^\circ), равна 6.

Длина катета равна 9.