Площадь круга,вписанного в правильный треугольник равна 16п см квадратных.Найдите площадь описанного около этого треугольника круга
Площадь круга,вписанного в правильный треугольник равна 16п см квадратных.Найдите площадь описанного около этого треугольника круга
Для решения задачи найдем сначала радиус круга, вписанного в правильный треугольник, а затем определим радиус круга, описанного вокруг этого треугольника.
Вписанный круг: Формула площади круга: ( S = \pi r^2 ). Площадь круга, вписанного в треугольник, равна ( 16\pi ) см². Следовательно: [ \pi r^2 = 16\pi ] Отсюда радиус вписанного круга: [ r^2 = 16 \implies r = 4 \text{ см} ]
Связь радиуса вписанного круга и стороны треугольника: Для правильного треугольника радиус вписанного круга ( r ) связан со стороной треугольника ( a ) соотношением: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Подставим известное значение радиуса: [ 4 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \implies a \sqrt{3} = 24 \implies a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \text{ см} ]
Радиус описанного круга: Радиус описанного круга ( R ) для правильного треугольника связан со стороной ( a ) следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Подставим значение стороны: [ R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 \text{ см} ]
Таким образом, радиус описанного круга равен 8 см. Теперь найдем его площадь: [ S = \pi R^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi \text{ см}^2 ]
Ответ: Площадь описанного круга равна ( 64\pi ) см².
Для решения данной задачи нам необходимо использовать два свойства правильного треугольника:
Из условия задачи известно, что площадь вписанного круга равна 16π. Площадь круга равна ( S = πr^2 ), где ( r ) - радиус круга. Таким образом, мы можем выразить длину стороны треугольника из площади вписанного круга:
[ πr^2 = 16π ] [ r^2 = 16 ] [ r = 4
Теперь найдем длину стороны треугольника: [ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} ] [ 4 = \frac{a\sqrt{3}}{6} ] [ a = 8\sqrt{3}
Теперь можем найти радиус описанного около треугольника круга: [ R = \frac{a}{2\sqrt{3}} ] [ R = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} ] [ R = 4
Таким образом, площадь описанного около правильного треугольника круга равна: [ S = πR^2 = π \cdot 4^2 = 16π \, см^2 ]
Ответ: площадь описанного около треугольника круга равна 16π квадратных сантиметров.
