Площадь боковой поверхности конуса равна 65π см2, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна 65π см2, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.
Чтобы найти ребро куба, объем которого равен объему данного конуса, нам сначала нужно определить объем конуса.
Найдем радиус основания конуса:
Площадь боковой поверхности конуса ( S ) выражается формулой: [ S = \pi r l ] где ( r ) — радиус основания конуса, ( l ) — длина образующей.
В нашем случае ( S = 65\pi ) см(^2) и ( l = 13 ) см. Подставим эти значения в формулу и решим уравнение для ( r ): [ 65\pi = \pi r \times 13 ] Разделим обе части уравнения на (\pi): [ 65 = 13r ] Теперь найдем ( r ): [ r = \frac{65}{13} = 5 \text{ см} ]
Найдем объем конуса:
Объем конуса ( V ) вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] где ( h ) — высота конуса.
Сначала найдем высоту ( h ) с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, высотой и образующей: [ l^2 = r^2 + h^2 ] Подставим известные значения: [ 13^2 = 5^2 + h^2 ] [ 169 = 25 + h^2 ] [ h^2 = 144 ] [ h = 12 \text{ см} ]
Теперь подставим значения ( r ) и ( h ) в формулу для объема: [ V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) ] [ V = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12 ] [ V = \frac{1}{3} \times 300\pi ] [ V = 100\pi \text{ см}^3 ]
Найдем ребро куба:
Объем куба ( V{\text{куба}} ) выражается формулой: [ V{\text{куба}} = a^3 ] где ( a ) — длина ребра куба.
Приравняем объемы: [ a^3 = 100\pi ]
Найдем ( a ): [ a = \sqrt[3]{100\pi} ]
Таким образом, длина ребра куба равна (\sqrt[3]{100\pi}) см.
Для начала найдем радиус основания конуса. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S = π r l, где r - радиус основания, l - образующая. Подставив известные значения, получим:
65π = π r 13 65 = r * 13 r = 5 см
Теперь найдем объем конуса. Объем конуса вычисляется по формуле V = (1/3) π r^2 * h, где h - высота конуса. Так как у нас конус правильный, то его высота равна образующей, т.е. h = 13 см. Подставим известные значения:
V = (1/3) π 5^2 * 13 V = 325π см^3
Объем куба равен V = a^3, где а - длина ребра куба. Приравняем объемы конуса и куба:
a^3 = 325π a = ∛(325π) a ≈ 7.12 см
Итак, ребро куба, объем которого равен объему данного конуса, равно примерно 7.12 см.
