Перпендикуляр, который проведён из вершины прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении...

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой о перпендикуляре, проведенном из вершины прямоугольника к его диагонали. По этой теореме известно, что углы, образуемые перпендикуляром и диагональю, будут пропорциональны соответственно к острому и тупому углам треугольника.

Пусть угол между перпендикуляром и вертикалью равен 7x, а угол между диагональю и вертикалью равен 2x. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то получаем уравнение: 7x + 2x + 90 = 180, 9x = 90, x = 10.

Теперь можем найти острый угол между диагоналями прямоугольника: 2x = 2 * 10 = 20 градусов.

Итак, острый угол между диагоналями прямоугольника равен 20 градусов.

Давайте рассмотрим прямоугольник (ABCD), где (AB) и (CD) — это параллельные стороны, а (AD) и (BC) — другие параллельные стороны. Пусть (AB = a) и (AD = b).

Диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O). В прямоугольнике диагонали равны, поэтому (AC = BD = \sqrt{a^2 + b^2}).

Теперь рассмотрим перпендикуляр, проведённый из вершины (A) на диагональ (BD) и обозначим его точку пересечения с диагональю как (P). Нам известно, что этот перпендикуляр делит прямой угол (A) в отношении (7:2).

Пусть угол между диагональю (BD) и стороной (AD) равен (\theta). Тогда угол между стороной (AB) и диагональю (BD) будет (90^\circ - \theta).

Так как перпендикуляр делит угол (A) в отношении (7:2), это означает, что угол (\angle PAD = \frac{7}{9}\cdot 90^\circ) и (\angle PAB = \frac{2}{9}\cdot 90^\circ).

Теперь, для нахождения острого угла между диагоналями (AC) и (BD), рассмотрим треугольник (AOD). Угол (\angle AOD) равен (2\theta), так как (O) — центр симметрии прямоугольника и диагонали делятся пополам.

Для нахождения (\theta), вспомним, что отношение тангенсов углов (\theta) и (90^\circ - \theta) должно быть равно 7/2. Поэтому:

[ \tan(\theta) = \frac{7}{2} \tan(90^\circ - \theta) ]

Но (\tan(90^\circ - \theta) = \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}). Подставим это в уравнение:

[ \tan(\theta) = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\tan(\theta)} ]

Обозначим (\tan(\theta) = t):

[ t = \frac{7}{2t} ]

Умножим обе части уравнения на (2t):

[ 2t^2 = 7 ]

Отсюда:

[ t^2 = \frac{7}{2} ]

[ t = \sqrt{\frac{7}{2}} ]

Получаем:

[ \tan(\theta) = \sqrt{\frac{7}{2}} ]

Теперь, возвращаясь к углу между диагоналями (AC) и (BD), он равен (2\theta):

[ \tan(2\theta) = \frac{2 \tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} ]

Подставим значение (\tan(\theta)):

[ \tan(2\theta) = \frac{2 \sqrt{\frac{7}{2}}}{1 - \left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)^2} ]

[ \tan(2\theta) = \frac{2 \sqrt{\frac{7}{2}}}{1 - \frac{7}{2}} ]

[ \tан(2\theta) = \frac{2 \sqrt{\frac{7}{2}}}{\frac{-5}{2}} ]

[ \tан(2\theta) = -\frac{2 \sqrt{\frac{7}{2}}}{\frac{5}{2}} ]

[ \tан(2\theta) = -\frac{4 \sqrt{\frac{7}{2}}}{5} ]

[ \tан(2\theta) = -\frac{4 \sqrt{7}}{5 \sqrt{2}} ]

Сократим:

[ \tан(2\theta) = -\frac{4 \sqrt{7}}{5 \sqrt{2}} = - \frac{4 \sqrt{7}}{5 \cdot \sqrt{2}} = - \frac{4 \sqrt{14}}{10} = - \frac{2 \sqrt{14}}{5} ]

Теперь находим (\theta):

[ \theta = \arctan\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right) ]

Итак, острый угол между диагоналями прямоугольника равен (2\theta). Для конкретного численного значения необходимо воспользоваться таблицами тангенсов или калькулятором, чтобы получить численное значение для острого угла.