Периметр равнобедренного треугольника равен 98, а основание -40. Найдите площадь треугольника

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, давайте разберёмся с данными и поэтапно решим задачу.

Дано:

• Периметр треугольника ( P = 98 ),
• Основание треугольника ( a = 40 ).

Поскольку треугольник равнобедренный, две его стороны равны. Обозначим длину равных боковых сторон за ( b ). Тогда периметр треугольника можно записать как: [ P = a + 2b. ]

Найдём длину боковой стороны ( b ):

Подставляем известные значения: [ 98 = 40 + 2b. ] [ 2b = 98 - 40 = 58. ] [ b = \frac{58}{2} = 29. ]

Итак, длины сторон треугольника: основание ( a = 40 ), боковые стороны ( b = 29 ).

Разделим треугольник на два прямоугольных:

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Высоту обозначим за ( h ), а половину основания за ( \frac{a}{2} = \frac{40}{2} = 20 ).

Теперь в одном из прямоугольных треугольников катеты — это ( h ) и ( 20 ), а гипотенуза — это боковая сторона ( b = 29 ). По теореме Пифагора: [ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. ] Подставляем известные значения: [ 29^2 = h^2 + 20^2. ] [ 841 = h^2 + 400. ] [ h^2 = 841 - 400 = 441. ] [ h = \sqrt{441} = 21. ]

Итак, высота ( h = 21 ).

Найдём площадь треугольника:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h. ] Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 21. ] [ S = 20 \cdot 21 = 420. ]

Ответ:

Площадь равнобедренного треугольника равна ( \mathbf{420} ).

Для решения задачи о нахождении площади равнобедренного треугольника, где известен периметр и основание, можно воспользоваться следующими этапами.

1. Определим длины сторон треугольника. Обозначим длины боковых сторон равнобедренного треугольника как ( a ). Тогда у нас есть следующая информация:

   • Периметр ( P = 98 )
   • Основание ( b = 40 )

   Формула для периметра равнобедренного треугольника: [ P = 2a + b ] Подставим известные значения: [ 98 = 2a + 40 ] Выразим ( a ): [ 2a = 98 - 40 = 58 ] [ a = \frac{58}{2} = 29 ]

   Таким образом, длины сторон треугольника:

   • Боковые стороны ( a = 29 )
   • Основание ( b = 40 )

2. Найдем высоту треугольника. Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу: [ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h ] где ( h ) — высота треугольника, опущенная на основание ( b ).

   Чтобы найти высоту, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Высота делит основание пополам, поэтому: [ \text{Полуоснование} = \frac{b}{2} = \frac{40}{2} = 20 ]

   Теперь применим теорему Пифагора в правом треугольнике, образованном высотой ( h ), полуоснованием ( 20 ) и боковой стороной ( 29 ): [ a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 ] Подставим известные значения: [ 29^2 = h^2 + 20^2 ] [ 841 = h^2 + 400 ] Выразим ( h^2 ): [ h^2 = 841 - 400 = 441 ] [ h = \sqrt{441} = 21 ]

3. Теперь найдем площадь треугольника. Подставим найденные значения в формулу площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 21 ] [ S = 20 \cdot 21 = 420 ]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет ( 420 ) квадратных единиц.