Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного...

Для начала найдем длину стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Поскольку треугольник равносторонний, то каждая его сторона равна радиусу окружности. Периметр равностороннего треугольника равен 3 * сторона треугольника, следовательно, сторона равностороннего треугольника равна 45 / 3 = 15 см.

Теперь найдем длину стороны восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. Восьмиугольник можно разделить на 8 равносторонних треугольников, каждый из которых равен равностороннему треугольнику, вписанному в окружность. Таким образом, каждая сторона восьмиугольника равна 15 см.

Таким образом, сторона правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность, равна 15 см.

Для решения этой задачи начнем с анализа информации о правильном треугольнике. Периметр правильного треугольника равен 45 см, следовательно, длина каждой его стороны составляет ( \frac{45}{3} = 15 ) см.

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус ( R ) окружности связан со стороной треугольника ( a ) соотношением: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Подставляем известную сторону: [ R = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} ] см.

Теперь перейдем к правильному восьмиугольнику, вписанному в ту же окружность. Сторона восьмиугольника ( b ) связана с радиусом ( R ) соотношением: [ R = \frac{b}{2 \sin(\frac{\pi}{8})} ] Здесь ( \sin(\frac{\pi}{8}) ) можно выразить через известные тригонометрические значения: [ \sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ]

Таким образом, длина стороны восьмиугольника ( b ) будет равна: [ b = 2R \sin(\frac{\pi}{8}) = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 5\sqrt{3} \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]

Для упрощения выражения ( \sqrt{2 - \sqrt{2}} ), применим приближенные значения: [ \sqrt{2 - \sqrt{2}} \approx \sqrt{0.586} \approx 0.765 ]

Теперь подставим это приближенное значение: [ b \approx 5\sqrt{3} \times 0.765 \approx 11.5 ] см.

Таким образом, длина стороны правильного восьмиугольника, вписанного в данную окружность, примерно равна 11.5 см.