Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20 см, ее большая боковая сторона...

Радиус окружности равен 2 см.

Для решения этой задачи нам необходимо знать основные свойства прямоугольной трапеции, описанной около окружности.

Для начала, обозначим радиус окружности как r. Заметим, что прямоугольная трапеция описана около окружности, значит диагонали этой трапеции будут равны диаметрам окружности. Пусть d1 и d2 - диагонали прямоугольной трапеции. Тогда сумма диагоналей равна периметру трапеции:

d1 + d2 = 20 см

Так как это прямоугольная трапеция, то диагонали будут равны:

d1 = 2r d2 = 2r

Из этого следует:

2r + 2r = 20 4r = 20 r = 5

Итак, радиус окружности равен 5 см.

Чтобы решить эту задачу, начнем с использования основных свойств прямоугольной трапеции, описанной около окружности.

1. Определение и свойства:

   • Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой один из углов прямой.
   • Трапеция описана около окружности, если сумма длин противоположных сторон равна.

2. Обозначения:

   • Пусть (ABCD) — прямоугольная трапеция, где (AB) и (CD) — основания, (AD) — большая боковая сторона, (BC) — меньшая боковая сторона.
   • Известно, что (AD = 6) см, а периметр (P = 20) см.

3. Свойства окружности, описанной около трапеции:

   • Для трапеции, описанной около окружности, сумма длин противоположных сторон равна. То есть, (AB + CD = AD + BC).

4. Запишем уравнения для периметра и сторон:

   • (AB + CD + AD + BC = 20)
   • (AB + CD = AD + BC)

5. Подставим известное значение (AD = 6) см:

   • (AB + CD + 6 + BC = 20)
   • (AB + CD = 6 + BC)

6. Упростим уравнения:

   • (AB + CD + BC = 14)
   • (AB + CD = 6 + BC)

7. Из первого уравнения выразим (AB + CD):

   • (AB + CD = 14 - BC)

8. Теперь подставим (AB + CD) во второе уравнение:

   • (14 - BC = 6 + BC)
   • (14 = 6 + 2BC)
   • (8 = 2BC)
   • (BC = 4) см

9. Найдем остальные стороны:

   • (AB + CD = 6 + 4 = 10) см
   • Теперь (AB + CD + AD + BC = 20), проверим:
     • (AB + CD = 10) см
     • (AD = 6) см
     • (BC = 4) см
     • (10 + 6 + 4 = 20) см — все верно.

10. Теперь найдем радиус окружности, описанной около трапеции:

Для трапеции, описанной около окружности, радиус (r) можно найти по формуле, использующей периметр и полупериметр: [ r = \frac{S}{p} ]

где (S) — площадь трапеции, (p) — полупериметр.

Полупериметр (p): [ p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} ]

Площадь (S) трапеции можно найти, зная основания и высоту. В данном случае высота (BC = 4) см (так как трапеция прямоугольная, (BC) является высотой).

Основания (AB = a) и (CD = b), и (a + b = 10) см.

Площадь (S) трапеции: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ см}^2 ]

Теперь находим радиус (r): [ r = \frac{S}{p} = \frac{20}{10} = 2 \text{ см} ]

Ответ: Радиус окружности, описанной около данной прямоугольной трапеции, равен (2) см.