Периметр прямоугольника ABCD равен 24 см, а его диагональ BD =9 см. Найти периметр треугольника ABD

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначения и условия задачи:

   • Пусть ( AB = a ) и ( AD = b ) — стороны прямоугольника ABCD.
   • Периметр прямоугольника равен 24 см, то есть: [ 2(a + b) = 24 ] Отсюда: [ a + b = 12 ]
   • Диагональ ( BD = 9 ) см.

2. Используем теорему Пифагора для диагонали: В прямоугольнике диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, стороны которого ( a ) и ( b ). Применим теорему Пифагора: [ a^2 + b^2 = 9^2 = 81 ]

3. Система уравнений: У нас есть две ключевые формулы:

   • ( a + b = 12 )
   • ( a^2 + b^2 = 81 )

   Мы можем выразить одно из уравнений через другое. Из первого уравнения: [ b = 12 - a ]

   Подставим это выражение во второе уравнение: [ a^2 + (12 - a)^2 = 81 ]

   Раскроем скобки: [ a^2 + (144 - 24a + a^2) = 81 ]

   Объединим подобные члены: [ 2a^2 - 24a + 144 = 81 ]

   Упростим уравнение: [ 2a^2 - 24a + 63 = 0 ]

   Разделим на 2: [ a^2 - 12a + 31.5 = 0 ]

4. Решение квадратного уравнения: Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31.5 = 144 - 126 = 18 ]

   Корни уравнения: [ a_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{12 \pm 3\sqrt{2}}{2} ]

   Это дает: [ a_1 = 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2}, \quad a_2 = 6 - \frac{3\sqrt{2}}{2} ]

   Соответствующие значения для ( b ): [ b_1 = 6 - \frac{3\sqrt{2}}{2}, \quad b_2 = 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2} ]

5. Периметр треугольника ABD: Теперь мы можем найти периметр треугольника ( ABD ): [ P = AB + AD + BD = a + b + 9 = 12 + 9 = 21 \, \text{см} ]

Таким образом, периметр треугольника ( ABD ) равен 21 см.

Периметр треугольника ABD равен 15 см.

Для нахождения периметра треугольника ABD нам необходимо знать длины сторон этого треугольника. Давайте воспользуемся тем, что у нас есть диагональ BD прямоугольника ABCD и периметр этого прямоугольника.

Известно, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, треугольник ABD также является прямоугольным.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длин сторон треугольника ABD. Пусть AB = x, AD = y, тогда применяя теорему Пифагора к треугольнику ABD, получим:

x^2 + y^2 = BD^2 x^2 + y^2 = 9^2 x^2 + y^2 = 81

Также у нас есть информация о периметре прямоугольника ABCD, который равен 24 см:

2(x + y) = 24 x + y = 12

Теперь у нас есть система уравнений:

x + y = 12 x^2 + y^2 = 81

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения x и y. После этого можем найти периметр треугольника ABD, который равен сумме длин его сторон.