Отрезок прямой , параллельной основания трапеции , заключенный внутри трапеции , разбивается диагоналями...

Для доказательства равенства крайних отрезков, обозначим основание трапеции как AB, боковые стороны как BC и AD, а диагонали как AC и BD. Пусть точка пересечения диагоналей - точка O.

Так как AB || CD, то треугольники ABC и ACD подобны, поэтому AC/AB = AD/AC, откуда AC^2 = AB * AD.

Также, так как AB || CD, то угол AOC равен углу BOD, и угол ACO равен углу BDO. Таким образом, треугольники ACO и BDO подобны, поэтому AC/AO = BD/OD, откуда AC OD = AO BD.

Из полученных равенств имеем AC^2 = AB AD = AC OD = AO * BD. Следовательно, AC = AO = OD = BD, что и означает равенство крайних отрезков.

Давайте рассмотрим трапецию (ABCD) с основаниями (AB) и (CD), где (AB \parallel CD). Пусть (EF) — отрезок прямой, параллельной основаниям, и заключенный внутри трапеции, так что он пересекает диагонали (AC) и (BD) в точках (P) и (Q) соответственно. Нам нужно доказать, что отрезки (EP) и (FQ) равны.

Для доказательства используем свойства подобия треугольников и параллельных прямых.

1. Поскольку (EF \parallel AB) и (EF \parallel CD), то по признаку подобия треугольников, треугольники (AEP) и (APQ) подобны, как и треугольники (FQD) и (PQD).

2. Из подобия треугольников (AEP \sim APQ) следует, что: [ \frac{AE}{EP} = \frac{AP}{PQ} ]

3. Аналогично из подобия треугольников (FQD \sim PQD) следует, что: [ \frac{FQ}{QD} = \frac{PQ}{PD} ]

4. Поскольку (EF \parallel AB) и (EF \parallel CD), сегмент (EF) является средней линией в трапеции, которая делит диагонали пропорционально. Таким образом, точки (P) и (Q) делят диагонали (AC) и (BD) в одинаковых отношениях.

5. Это означает, что (\frac{AP}{PC} = \frac{BQ}{QD}).

6. Теперь, соединим все полученные отношения. Из (\frac{AE}{EP} = \frac{AP}{PQ}) и (\frac{FQ}{QD} = \frac{PQ}{PD}), и учитывая, что (\frac{AP}{PC} = \frac{BQ}{QD}), мы можем выразить:

   [ \frac{AE}{EP} = \frac{FQ}{QD} ]

7. Из равенства пропорций и свойства средней линии, получаем, что (\frac{AE}{EP} = \frac{FQ}{QD}) означает равенство отрезков (EP) и (FQ).

Таким образом, крайние отрезки (EP) и (FQ) действительно равны между собой.