Отрезок MB перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. разложите вектор MC по векторам AB, AC, MB Номер...

Разберем оба вопроса по порядку.

Вопрос 1: Разложение вектора MC по векторам AB, AC, MB

Пусть треугольник (ABC) дан в пространстве, и отрезок (MB) перпендикулярен плоскости треугольника (ABC). Нам нужно разложить вектор ( \mathbf{MC} ) по векторам ( \mathbf{AB} ), ( \mathbf{AC} ), ( \mathbf{MB} ).

Обозначим:

• ( \mathbf{AB} = \mathbf{b} )
• ( \mathbf{AC} = \mathbf{c} )
• ( \mathbf{MB} = \mathbf{m} )

Так как (MB) перпендикулярен плоскости треугольника (ABC), вектор (\mathbf{m}) перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости треугольника (ABC). Это означает, что ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{b} = 0 ) и ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{c} = 0 ), где (\cdot) обозначает скалярное произведение.

Теперь мы хотим представить вектор ( \mathbf{MC} ) в виде линейной комбинации векторов ( \mathbf{b} ), ( \mathbf{c} ), ( \mathbf{m} ): [ \mathbf{MC} = \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} + \gamma \mathbf{m} ]

Для этого рассмотрим проекции вектора ( \mathbf{MC} ) на плоскость треугольника (ABC). Пусть ( \mathbf{P} ) — проекция точки (C) на плоскость, проходящую через точку (M) и перпендикулярную плоскости треугольника (ABC). Тогда (\mathbf{MP} = \gamma \mathbf{m}), и (\mathbf{PC}) лежит в плоскости треугольника (ABC).

Вектор (\mathbf{PC}) можно разложить по векторам (\mathbf{b}) и (\mathbf{c}): [ \mathbf{PC} = \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{MC} ) записывается как сумма векторов: [ \mathbf{MC} = \mathbf{MP} + \mathbf{PC} = \gamma \mathbf{m} + (\alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c}) ] Отсюда следует, что: [ \mathbf{MC} = \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} + \gamma \mathbf{m} ]

Вопрос 2: Коллинеарность векторов ( \mathbf{c} = k\mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) и ( \mathbf{d} = 3\mathbf{a} + k\mathbf{b} )

Для того чтобы векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ) были коллинеарны, существует такое число (\lambda), что: [ \mathbf{c} = \lambda \mathbf{d} ]

Запишем это в координатной форме: [ k\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = \lambda (3\mathbf{a} + k\mathbf{b}) ]

Разложим эту зависимость по векторам (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}): [ k\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = 3\lambda \mathbf{a} + \lambda k \mathbf{b} ]

Приравняем коэффициенты при (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}):

1. ( k = 3\lambda )
2. ( 3 = \lambda k )

Из первого уравнения выразим (\lambda): [ \lambda = \frac{k}{3} ]

Подставим это выражение во второе уравнение: [ 3 = \left(\frac{k}{3}\right) k ] [ 3 = \frac{k^2}{3} ] [ k^2 = 9 ] [ k = \pm 3 ]

Таким образом, значения (k), при которых векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ) коллинеарны, равны ( k = 3 ) или ( k = -3 ).

1. Вектор MC = (AB + AC + MB) / 3
2. Значения k, при которых векторы c и d коллинеарны, равны k = 3.

1. Раскладываем вектор MC по векторам AB, AC, MB: Вектор MC можно представить как сумму векторов MA и AC. Вектор MA можно представить как сумму векторов MB и BA. Таким образом, вектор MC можно представить как сумму векторов MB, BA и AC. При этом вектор BA = -AB. Таким образом, вектор MC = MB - AB + AC = MB + AC - AB.
2. Найдем значения k, при которых векторы c = ka + 3b и d = 3a + kb коллинеарны: Два вектора коллинеарны, если они параллельны, то есть один является кратным другого. Поэтому для векторов c и d, чтобы они были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны. Таким образом, необходимо найти такое значение k, при котором координаты векторов c и d будут пропорциональны. Получаем систему уравнений: ka = 3*3a, k = 9 3b = kb, k = 3 Из этих двух уравнений видно, что значение k должно быть равно 9 или 3, чтобы векторы c и d были коллинеарными.