Отрезок MB перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. разложите вектор MC по векторам AB, AC, MB Номер...

Разберем оба вопроса по порядку.

Вопрос 1: Разложение вектора MC по векторам AB, AC, MB

Пусть треугольник $ABC$ дан в пространстве, и отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Нам нужно разложить вектор $\mathbf{MC}$ по векторам $\mathbf{AB}$, $\mathbf{AC}$, $\mathbf{MB}$.

Обозначим:

• $\mathbf{AB}=\mathbf{b}$
• $\mathbf{AC}=\mathbf{c}$
• $\mathbf{MB}=\mathbf{m}$

Так как $MB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, вектор $\mathbf{m}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $\mathbf{m}\cdot \mathbf{b}=0$ и $\mathbf{m}\cdot \mathbf{c}=0$, где $\cdot$ обозначает скалярное произведение.

Теперь мы хотим представить вектор $\mathbf{MC}$ в виде линейной комбинации векторов $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, $\mathbf{m}$: $\mathbf{MC}=\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}+\gamma \mathbf{m}$

Для этого рассмотрим проекции вектора $\mathbf{MC}$ на плоскость треугольника $ABC$. Пусть $\mathbf{P}$ — проекция точки $C$ на плоскость, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную плоскости треугольника $ABC$. Тогда $\mathbf{MP}=\gamma \mathbf{m}$, и $\mathbf{PC}$ лежит в плоскости треугольника $ABC$.

Вектор $\mathbf{PC}$ можно разложить по векторам $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$: $\mathbf{PC}=\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$

Таким образом, вектор $\mathbf{MC}$ записывается как сумма векторов: $\mathbf{MC}=\mathbf{MP}+\mathbf{PC}=\gamma \mathbf{m}+(\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c})$ Отсюда следует, что: $\mathbf{MC}=\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}+\gamma \mathbf{m}$

Вопрос 2: Коллинеарность векторов $\mathbf{c}=k\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}=3\mathbf{a}+k\mathbf{b}$

Для того чтобы векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ были коллинеарны, существует такое число $\lambda$, что: $\mathbf{c}=\lambda \mathbf{d}$

Запишем это в координатной форме: $k\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\lambda (3\mathbf{a}+k\mathbf{b})$

Разложим эту зависимость по векторам $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$: $k\mathbf{a}+3\mathbf{b}=3\lambda \mathbf{a}+\lambda k\mathbf{b}$

Приравняем коэффициенты при $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

1. $k=3\lambda$
2. $3=\lambda k$

Из первого уравнения выразим $\lambda$: $\lambda =\frac{k}{3}$

Подставим это выражение во второе уравнение: $3=\left(\frac{k}{3}\right)k$ $3=\frac{k^2}{3}$ $k^2=9$ $k=\pm 3$

Таким образом, значения $k$, при которых векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ коллинеарны, равны $k=3$ или $k=-3$.

1. Вектор MC = $AB+AC+MB$ / 3
2. Значения k, при которых векторы c и d коллинеарны, равны k = 3.

1. Раскладываем вектор MC по векторам AB, AC, MB: Вектор MC можно представить как сумму векторов MA и AC. Вектор MA можно представить как сумму векторов MB и BA. Таким образом, вектор MC можно представить как сумму векторов MB, BA и AC. При этом вектор BA = -AB. Таким образом, вектор MC = MB - AB + AC = MB + AC - AB.
2. Найдем значения k, при которых векторы c = ka + 3b и d = 3a + kb коллинеарны: Два вектора коллинеарны, если они параллельны, то есть один является кратным другого. Поэтому для векторов c и d, чтобы они были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны. Таким образом, необходимо найти такое значение k, при котором координаты векторов c и d будут пропорциональны. Получаем систему уравнений: ka = 3*3a, k = 9 3b = kb, k = 3 Из этих двух уравнений видно, что значение k должно быть равно 9 или 3, чтобы векторы c и d были коллинеарными.